Kablo Döşeme Maliyeti Minimizasyonu

Merhaba. Fonksiyonlarda maksimum ve minimum noktayı bulmamızı gerektiren güzel bir optimizasyon sorusu ile karşı karşıyayız. Problemi matematiksel bir modele çevirerek başlayalım.

Öncelikle problemi kafamızda canlandırabilmek ve işlemi rahatça yapabilmek için sade bir geometrik model çizelim. F feneri, S ise santrali temsil etsin. K noktası ise fenerin kıyıda tam karşısına düşen yer olsun.

Soruda santral ile fenerin sahildeki hizası, yani K noktası, arasındaki mesafenin 45 kilometre, fenerin de sahile dik uzaklığının 24 kilometre olduğu belirtilmiş. Diyagrama bunları yerleştirelim.

Şimdi kablonun deniz altından geçmeye başlayacağı P noktasını bulmamız lazım. Hesaplamaları kolaylaştırmak için K ile P noktası arasına u diyelim. Bu durumda kablonun sahilde gittiği uzunluk kırk beş eksi u olacaktır.

Pisagor bağıntısını kullanarak, P noktasından fenere kadar olan su altı mesafesini de dik kenarların karelerinin toplamının karekökü, yani karekök içinde u kare artı yirmi dördün karesi şeklinde ifade edebiliriz.

Hemen maliyet tablomuzdaki birim ücretleri, bulduğumuz uzunluklarla çarparak toplam maliyet fonksiyonunu yazalım. Kıyıda maliyet kilometre başına x iken, su altında beş x bölü dört idi.

Amacımız maliyeti en aza indirmek olduğundan, M u fonksiyonunun türevini alıp sıfıra eşitlemeliyiz.

Türev hesabı yapalım. İlk terimdeki kırk beş eksi u çarpı x 'in u 'ya göre türevi eksi x olacaktır. Köklü ifadenin türevini alırken ise, kök içinin türevi olan iki u yu paya alıp, iki çarpı kökün ta kendisine böleriz.

x sıfırdan farklı bir sayı olduğu için tüm terimleri x e bölerek sadeleştirebiliriz. Ayrıca pay ve paydadaki ikiler de birbirini götürecektir.

Eksi biri karşıya atalım.

Şimdi de içler dışlar çarpımı yaparak tek satırlık bir denklem elde edelim.

Bulduğumuz bu eşitliği çözerek bizden istenilen optimum mesafeye ulaşalım.