Integral ve Fonksiyon Simetrisi

Merhaba Ebrar, bu güzel integral sorusunu seninle birlikte adım adım çözelim. Sorumuzda y eşittir f x fonksiyonunun grafiğinin orijine göre simetrik olduğu bilgisi verilmiş. Öncelikle bu ifadenin matematiksel olarak ne anlama geldiğini yazalım.

Grafiği orijine göre simetrik olan fonksiyonlar tek fonksiyonlardır. Yani, f eksi x her zaman eksi f x değerine eşittir.

Tek fonksiyonların en önemli özelliklerinden biri, simetrik bir aralıktaki belirli integral değerinin sıfır olmasıdır. Yani, eksi a dan a ya f x d x integrali sıfıra eşittir.

Şimdi bu bilgileri kullanarak soruda bizden istenen toplamdaki birinci integrali hesaplayalım.

Bu integrali çözmek için değişken değiştirme yöntemini uygulayalım. x eksi üç ifadesine u diyelim.

Her iki tarafın diferansiyelini aldığımızda, d u eşittir d x elde ederiz.

Şimdi de integralimizin sınırlarını yeni değişkenimiz u cinsinden belirleyelim.

Alt sınır olan x eşittir iki için, u değerimiz iki eksi üçten eksi bir olur.

Üst sınır olan x eşittir dört için ise, u değerimiz dört eksi üçten bir olur.

Bulduğumuz bu değerleri yerlerine yazarak integralimizi u değişkenine bağlı olarak yeniden ifade edelim.

f fonksiyonu tek fonksiyon olduğundan ve integral sınırları eksi birden bire simetrik olduğundan, bu integralin değeri sıfırdır.

İlk integralimizi sıfır bulduk. Şimdi ikinci integrali ele alalım.

Bu integrali, toplamın özelliği gereği iki ayrı integral olarak yazabiliriz.

Öncelikle birinci kısımdaki f x artı iki integralini hesaplayalım ve buna ı iki a diyelim.