İntegral ve Fonksiyon İlişkisi

Merhaba Kübra, gel bu güzel integral sorusunu birlikte adım adım çözelim.

Öncelikle bize g fonksiyonu, f fonksiyonuna bağlı olarak bir bağıntıyla verilmiş.

Ayrıca f fonksiyonunu içeren iki tane belirli integral eşitliğimiz var.

İkinci denklemimizi alalım ve içindeki toplamı, integralin toplama üzerine dağılma özelliğini kullanarak iki ayrı integral olarak yazalım.

Buradaki ikinci parçada 'bir eksi x' ifadesi var. Bunu birinci denkleme benzetmek için güzel bir değişken değiştirme uygulayalım.

x, eksi u olsun diyelim. Her iki tarafın türevini aldığımızda dx eşittir eksi du olur.

Sınırları da u'ya göre belirleyelim. x eksi bir iken u birdir, x bir iken u eksi birdir.

Şimdi bu bulduğumuz yeni değerleri tek tek integralde yerine yazalım.

İçerideki eksi u ile dışarıdaki eksi du çarpıldığında artı u olur. Fonksiyonun içi de eksi eksi yan yana geldiği için u artı bir haline gelir.

İntegralin sınırlarını birden eksi bire değil de, bildiğimiz gibi eksi birden bire yaparsak, özelliğimiz gereği başa bir eksi işareti gelir.

Burada çok önemli bir şey fark etmeliyiz. Bu ifade soruda en başta verilen ilk integralin tam olarak eksi işaretlisidir!

Parçaladığımız o iki terimli eşitliğe geri dönelim. İkinci parçasının eksi sekize eşit olduğunu kanıtladık. Bu değeri yerine yazalım.