Integral ve Fonksiyon Dönüşümleri

MathematicsDefinite IntegralZorYKS

Yayınlanma:

Soru

27. f ve g gerçel sayılar kümesi üzerinde türevlenebilir fonksiyonlar olmak üzere

$$\int_{0}^{2} (f(x) - 2 \cdot g(2 - x))dx = -1$$

$$\int_{0}^{2} (f(2 - x) + g(x))dx = 17$$

eşitlikleri veriliyor.

Buna göre $$\int_{0}^{1} g(2x)dx$$ integralinin değeri kaçtır?

A) 2 B) 3 C) 6 D) 8 E) 12

Animasyonlu Video Çözüm

İlk yarısı ücretsiz izlenebilir, tamamı uygulamada.

Adım Adım Yazılı Çözüm

1
Adım 1

Merhaba Ali, bu güzel AYT integral sorusunu birlikte adım adım çözelim.

AYT İntegral Sorusu Çözümü

2
Adım 2

Öncelikle bize verilen eşitlikleri tahtaya yazarak işe başlayalım.

$$\int_{0}^{2} (f(x) - 2g(2-x)) dx = -1$$
$$\int_{0}^{2} (f(2-x) + g(x)) dx = 17$$
3
Adım 3

Soruda bizden istenen integral ise, sıfırdan bire g iki x d x integralidir.

$$\text{İstenen: } \int_{0}^{1} g(2x) dx = ?$$
4
Adım 4

Verilen integrallerde iki eksi x terimini görüyoruz. Bu integralin sınırları sıfır ile iki arasındadır. Burada çok kullanışlı bir değişken değiştirme uygulayabiliriz.

Değişken Değiştirme Özelliği

$$\int_{0}^{2} f(2-x) dx$$
5
Adım 5

İki eksi x ifadesine u diyelim.

$$u = 2 - x$$
6
Adım 6

Her iki tarafın diferansiyelini aldığımızda, d u eşittir eksi d x olur. Yani d x eşittir eksi d u yazabiliriz.

$$du = -dx \implies dx = -du$$
7
Adım 7

Sınırları da güncelleyelim. x sıfır için u değeri iki olur. x iki için u değeri sıfır olur.

$$\begin{aligned} x = 0 &\implies u = 2 \\ x = 2 &\implies u = 0 \end{aligned}$$
8
Adım 8

Şimdi bu değerleri integralde yerine koyalım.

$$\int_{2}^{0} f(u) (-du)$$
9
Adım 9

Eksi işaretini sınırları ters çevirmek için kullanırsak, bu integral sıfırdan ikiye f u d u integraline eşit olur.

10
Adım 10

Belirli integralde değişkenin adı sonucu değiştirmez, yani bu integral sıfırdan ikiye f x d x integraline tamamen eşittir.

11
Adım 11

Aynı şekilde, sıfırdan ikiye g iki eksi x d x integrali de sıfırdan ikiye g x d x integraline eşit olacaktır.

$$\int_{0}^{2} g(2-x) dx = \int_{0}^{2} g(x) dx$$
12
Adım 12

İşlemleri kolaylaştırmak için, sıfırdan ikiye f x d x integraline I f, sıfırdan ikiye g x d x integraline ise I g diyelim.

Denklem Sisteminin Kurulması

$$I_f = \int_{0}^{2} f(x) dx$$
$$I_g = \int_{0}^{2} g(x) dx$$
13
Adım 13

İlk denklemimizi yeniden yazalım. Sıfırdan ikiye f x d x eksi iki çarpı sıfırdan ikiye g iki eksi x d x eşittir eksi birdir.

$$\int_{0}^{2} f(x) dx - 2\int_{0}^{2} g(2-x) dx = -1$$

Çözümün devamı Solvi’de

13 adım daha kilitli. Tamamını animasyonlu ve sesli anlatımla ücretsiz izle.

Fotoğrafını çek, her soruyu böyle çöz.

App Store’dan indir Google Play’den edin

İndirmesi ücretsiz · İlk çözümler hediye

100K+Her gün çözülen soru
50K+Öğrenen öğrenci
4.8 ★App Store puanı

Soru Bilgileri

Ders
Mathematics
Konu
Definite Integral
Zorluk
Zor
Sınav
YKS
Soru Tipi
Çoktan Seçmeli

Benzer Sorular

Belirli İntegral ve Alan İlişkisi Definite Integral · Orta Belirli İntegral Hesabı Definite Integral · Kolay İntegral ve Alan Hesabı Definite Integral · Orta İntegral ve Gerçel Sayılar Problemi Definite Integral · Orta Belirli İntegral Özelliği Sorusu Definite Integral · Orta Birim Kareli Düzlemde İntegral Hesabı Definite Integral · Zor

Her soruyu saniyeler içinde çöz

Fotoğrafını çek, yapay zeka adım adım, sesli ve animasyonlu anlatsın.

App Store’dan indir Google Play’den edin
Solvi
Çözümün devamı uygulamadaİndirmesi ücretsiz · İlk çözümler hediye
İndir