Integral hesabı ve çeyrek çemberler
Yayınlanma:
10. Aşağıdaki birim karelere bölünmüş dik koordinat düzleminde, $[0, 8]$ aralığında tanımlı $y = f(x)$ fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
f fonksiyonu, yarıçapı 2 birim olan dört çeyrek çemberden oluşmaktadır.
Buna göre
$$\int_{0}^{8} x \cdot f(x) dx$$
integralinin sayısal değeri kaçtır?
A) $2\pi$ B) $4\pi$ C) $8\pi$ D) $12\pi$ E) $16\pi$
Soruda görsel içerik var: Bir dik koordinat düzleminde [0, 8] aralığında tanımlı y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir. Grafik, x ekseninin üzerinde yarıçapı 2 olan dört adet çeyrek çember yayı dizisinden oluşmaktadır. Çember yayları (0,2), (2,4), (4,6) ve (6,8) aralıklarında x eksenine teğet olacak şekilde yerleştirilmiştir.
Animasyonlu Video Çözüm
İlk yarısı ücretsiz izlenebilir, tamamı uygulamada.
Adım Adım Yazılı Çözüm
Merhaba özlemstar, f fonksiyonunun grafiği çeyrek çemberlerden oluşmuş. Gelin bu integrali birlikte çözelim.
f(x) Grafiği ve İntegral Hesabı
Grafikte yarıçapı iki birim olan dört tane çeyrek çember görüyoruz. Önce bu fonksiyonun simetri özelliklerini fark edelim.
Hesaplamamız gereken integral sıfırdan sekize kadar x çarpı f x d x.
Grafiğin x eşittir dörde göre simetrik olduğuna dikkat edin. Ancak x çarpanı işi değiştiriyor. Bu yüzden değişken değiştirmeyi deneyelim.
İntegrali x eşittir dörde göre simetrik parçalara bölmek için u eşittir sekiz eksi x dönüşümü yapalım.
Değişken Değiştirme
Yeni integrali yazarsak, sınırlar yer değiştirir ve x yerine sekiz eksi u gelir.
Eksi işaretini sınırları düzeltmek için kullanalım. Ayrıca f fonksiyonunun sıfır sekiz aralığında x eşittir dörde göre simetrik olduğunu biliyoruz. Yani f sekiz eksi u, f u ya eşittir.
Bu ifadeyi dağıtalım. Sekiz tane f u integrali eksi u çarpı f u integrali elde ederiz.
Çözümün devamı Solvi’de
7 adım daha kilitli. Tamamını animasyonlu ve sesli anlatımla ücretsiz izle.
Fotoğrafını çek, her soruyu böyle çöz.
Çözümün Devamını Ücretsiz İzle
İndirmesi ücretsiz · İlk çözümler hediye
