İkinci Dereceden Polinom ve İntegral İlişkisi

Merhaba Zeynep, seninle birlikte bu güzel integral ve polinom sorusunu adım adım çözelim.

Soruda bize başkatsayısı üç olan, ikinci dereceden bir P x polinomu verilmiş. Bu polinomu genel formda yazarak başlayalım.

Bizden istenen değer P sıfır değeridir. Polinomda x yerine sıfır yazdığımızda, b ve x'li terimler gider ve geriye sadece sabit terim olan c kalır. Yani amacımız c sabitini bulmaktır.

Şimdi soruda bize verilen eşitliğin sol tarafındaki integral ifadesini hesaplayalım. Sıfırdan ikiye, P x d x integralini yazıyoruz.

İntegrali almak için her bir terimin ayrı ayrı integralini bulalım. Üç x karenin integrali x küp, b x'in integrali b bölü iki x kare ve c'nin integrali c x'tir.

Sınır değerlerini yerine koyalım. Öncelikle üst sınır olan iki değerini yazıyoruz.

İki üzeri üç sekiz eder, ikinin karesi dört bölü iki ise iki b yapar. Sıfır yazdığımız terimler ise sıfır olur. Buradan integralin değerini sekiz artı iki b artı iki c buluruz.

Harika. Şimdi eşitliğin sağ tarafındaki P bir eksi P eksi bir ifadesini hesaplayalım. Polinomumuzu buraya tekrar yazalım.

İlk olarak x yerine bir yazarak P bir değerini bulalım.

Bu ifadeyi sadeleştirdiğimizde, üç artı b artı c elde ederiz.