Görüntü Kümelerinin Kesişimi

Merhaba Firdevs, gel bu soruyu birlikte adım adım çözelim. Soruda gerçek sayılarda tanımlı iki fonksiyonumuz var. f ve g fonksiyonlarının görüntü kümeleri sırasıyla A ve B olarak verilmiş. Bizden bu iki kümenin kesişimindeki tam sayı elemanlarının adedi isteniyor.

İlk olarak f x fonksiyonunu inceleyelim. Mutlak değer içeren f x fonksiyonunun görüntü kümesi olan A kümesini bulmak için fonksiyonun minimum değerini belirlemeliyiz.

Bu fonksiyonu daha sade yazmak için ikinci terimi üç parantezine alabiliriz. Böylece f x eşittir mutlak değer x eksi iki artı üç çarpı mutlak değer x eksi üç elde ederiz.

Mutlak değerli ifadelerin toplamının en küçük değerini bulmak için kritik noktaları denemeliyiz. Burada kritik noktalarımız mutlak değerlerin içini sıfır yapan x eşittir iki ve x eşittir üç değerleridir.

Şimdi x eşittir iki için fonksiyonun değerini hesaplayalım. f iki eşittir mutlak değer içinde iki eksi iki artı üç çarpı mutlak değer içinde iki eksi üç olur.

Buradan sıfır artı üç çarpı bir elde ederiz, yani f iki değeri üçe eşittir.

Şimdi de diğer kritik noktamız olan x eşittir üç için hesaplama yapalım. f üç eşittir mutlak değer içinde üç eksi iki artı üç çarpı mutlak değer içinde üç eksi üç olur.

Bu işlemi yaparsak, bir artı sıfırdan f üç değerini bir olarak buluruz.

Bulduğumuz değerlerden en küçüğü birdir. Fonksiyonumuz kollar yukarı doğru giden bir yapıya sahip olduğundan alabileceği en küçük değer birdir ve üstten sınırsızdır. Yani A görüntü kümesi bir kapalı, sonsuz açık aralığıdır.

Şimdi de g x fonksiyonunu ele alalım. g x fonksiyonu ikinci dereceden bir fonksiyondur, yani grafiği bir paraboldür. x karenin katsayısı eksi bir olduğundan kollar aşağı doğrudur.