Funktionsuntersuchung und Flächenberechnung einer ganzrationalen Funktion

Beginnen wir mit der ersten Teilaufgabe. Wir sollen nachweisen, dass die Funktion an den Stellen minus eins und drei Nullstellen besitzt.

Dafür setzen wir diese x-Werte einfach in unsere Funktionsgleichung ein.

Das ergibt minus eins minus acht minus achtzehn plus siebenundzwanzig, was exakt null ist.

Analog überprüfen wir die Drei. Eingesetzt erhalten wir minus einundachtzig plus zweihundertsechzehn minus einhundertzweiundsechzig plus siebenundzwanzig.

Auch hier heben sich die positiven und negativen Terme gegenseitig auf, sodass null herauskommt. Die Nullstellen sind damit nachgewiesen.

Für die anstehende Untersuchung auf Extrem- und Wendepunkte bilden wir als erstes die notwendigen Ableitungen der Funktion.

Die erste Ableitung f Strich von x ist minus vier x hoch drei plus vierundzwanzig x quadrat minus sechsunddreißig x.

Die zweite Ableitung lautet minus zwölf x quadrat plus achtundvierzig x minus sechsunddreißig.

Und die dritte Ableitung ist minus vierundzwanzig x plus achtundvierzig.

Suchen wir zunächst die Extrempunkte. Als notwendige Bedingung setzen wir die erste Ableitung gleich null.

Um diese Gleichung zu lösen, klammern wir an allen drei Termen minus vier x aus.

Der Term in der runden Klammer entspricht genau der zweiten binomischen Formel, also x minus drei in Klammern zum Quadrat.

Dank des Nullprodukt-Satzes können wir die Lösungen sofort ablesen: x gleich null und x gleich drei.

Setzen wir null in die zweite Ableitung ein, erhalten wir minus sechsunddreißig. Wegen des negativen Vorzeichens und dem y-Wert siebenundzwanzig liegt hier ein Hochpunkt vor.

Setzen wir drei in die zweite Ableitung ein, kommt null heraus. Das bedeutet, wir haben hier kein lokales Extremum, sondern einen möglichen Sattelpunkt.