Funktionsanalyse von h(x) und Temperaturmodellierung
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Die Temperatur (in $^\circ C$) einer Felswand wird beschrieben durch die Funktion $T$ mit
$$T(t) = -7 \cos\left(\frac{\pi}{12}t\right) + 14, \quad t \in [0;24].$$
Dabei ist die Zeit (in Stunden) und $t = 0$ entspricht der Zeit 5:00 Uhr.
3.4 Die Funktion $h$ ist gegeben durch $h(x) = \frac{1}{2}x + 3 - e^{0,5x}, \quad x \in \mathbb{R}$. Ihr Schaubild heißt $K_h$.
3.5 Geben Sie die Gleichung der Asymptote von $K_h$ an.
Untersuchen Sie $K_h$ auf Extrempunkte.
Zeichnen Sie $K_h$ für $-8 \leq x \leq 4$. (10 Punkte)
3.6 Zeigen Sie, dass die Steigung von $K_h$ in allen Punkten kleiner als 0,5 ist.
(4 Punkte)
Animierte Videolösung
Die erste Hälfte ist kostenlos, die komplette Lösung gibt es in der App.
Schriftliche Lösung Schritt für Schritt
In dieser Aufgabe beschäftigen wir uns mit der Funktion h von x. Wir sollen die Gleichung der Asymptote angeben, Extrempunkte untersuchen und das Schaubild skizzieren. Fangen wir mit der Asymptote an.
Untersuchung der Funktion h(x)
Um die Asymptote zu finden, untersuchen wir das Verhalten von h von x für sehr kleine x-Werte, also wenn x gegen minus unendlich geht.
3.5 Asymptote
Der Term e hoch null-komma-fünf mal x geht gegen Null, wenn x gegen minus unendlich strebt.
Somit nähert sich die Funktion der Geraden ein halb x plus drei an. Das ist unsere schräge Asymptote.
Als Nächstes untersuchen wir die Extrempunkte. Dazu benötigen wir die erste Ableitung der Funktion.
Untersuchung auf Extrempunkte
Die Ableitung von ein halb x ist ein halb. Die Konstante drei fällt weg. Für den Exponentialterm nutzen wir die Kettenregel: Die Ableitung von e hoch null-komma-fünf x ist null-komma-fünf mal e hoch null-komma-fünf x.
Für einen Extrempunkt muss die erste Ableitung gleich Null sein.
Wir addieren null-komma-fünf mal e hoch null-komma-fünf x auf beide Seiten und teilen dann durch null-komma-fünf. Das ergibt e hoch null-komma-fünf x gleich eins.
Da e hoch null gleich eins ist, muss der Exponent null sein. Also ist x gleich null.
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