Fonksiyonların Türevleri ve İntegralleri ile Sıralama
Yayınlanma:
Dik koordinat düzleminde f, g ve h fonksiyonlarının grafikleri verilmiştir.
f, g ve h fonksiyonları için
$$\int_{2}^{6} f(x) dx > \int_{2}^{6} h(x) dx > \int_{2}^{6} g(x) dx$$
olduğu bilinmektedir.
$$a = g'(0) \cdot f(0)$$
$$b = h'(0) \cdot g(0)$$
$$c = f'(0) \cdot h(0)$$
olduğuna göre, aşağıdaki sıralamalardan hangisi doğrudur?
A) b > c > a
B) b > a > c
C) a > b > c
D) a > c > b
E) c > b > a
Soruda görsel içerik var: Koordinat düzleminde üç farklı fonksiyon grafiği bulunmaktadır: biri pembe, biri yeşil, biri mavi. x = 2 ve x = 6 noktaları kesikli çizgilerle işaretlenmiştir. Fonksiyonlar 2 ve 6 arasında integral değerleri ile ilişkilendirilmiş ve 0 noktasındaki değerleri ve eğimleri (türevleri) ile 'a', 'b', 'c' değişkenleri tanımlanmıştır.
Animasyonlu Video Çözüm
İlk yarısı ücretsiz izlenebilir, tamamı uygulamada.
Adım Adım Yazılı Çözüm
Merhaba Kerem, bu soruda üç farklı fonksiyonun grafiği üzerinden integral ve türev kavramlarını kullanarak bir sıralama yapacağız.
f, g ve h Fonksiyonlarının Analizi
Grafikte iki ile altı aralığındaki integral değerleri verilmiş. Hatırlayalım, bir fonksiyonun belirli integrali, o fonksiyonun grafiği ile x ekseni arasındaki alan demektir.
Grafiğe baktığımızda, iki ile altı aralığında en üstte olan grafik f fonksiyonuna, ortadaki h'ye ve en alttaki g'ye ait olmalı. Renklere göre eşleştirme yapalım.
En üstte olan pembe grafik f fonksiyonudur. Ortadaki mavi grafik h fonksiyonu ve en alttaki yeşil grafik ise g fonksiyonudur.
Pembe: $f(x)$
Mavi: $h(x)$
Yeşil: $g(x)$
Şimdi bizden istenen a, b ve c değerlerini hesaplamak için x eşittir sıfır noktasındaki değerlere ve eğimlere bakalım.
Noktasal Değerler (x = 0)
| Fonksiyon | Değer (y-ekseni) | Türev (Eğim) |
|---|---|---|
| --- | --- | --- |
| $f(x)$ (Pembe) | $f(0)$ | $f'(0)$ |
| $h(x)$ (Mavi) | $h(0)$ | $h'(0)$ |
| $g(x)$ (Yeşil) | $g(0)$ | $g'(0)$ |
Y eksenini kestikleri noktalara bakalım. En üstte yeşil yani g sıfır var. Sonra pembe f sıfır ve en altta mavi h sıfır yer alıyor.
Grafiklerin tamamı x ekseninin üzerinde olduğu için bu değerlerin hepsi pozitiftir.
Şimdi türevlere, yani x eşittir sıfır noktasındaki teğetlerin eğimlerine bakalım.
Türevlerin (Eğimlerin) İncelenmesi
Pembe grafik f, yukarı doğru artıyor, yani türevi pozitiftir. Mavi grafik h da artıyor, o da pozitiftir. Ancak yeşil grafik g aşağı iniyor, yani türevi negatiftir.
Çözümün devamı Solvi’de
9 adım daha kilitli. Tamamını animasyonlu ve sesli anlatımla ücretsiz izle.
Fotoğrafını çek, her soruyu böyle çöz.
Çözümün Devamını Ücretsiz İzle
İndirmesi ücretsiz · İlk çözümler hediye
