Fonksiyon ve Türevli İntegral İlişkisi

Merhaba öyküü, bu harika analiz sorusunu birlikte adım adım çözelim.

İlk olarak bize verilen integral eşitliğine odaklanalım. Bu eşitliğin her iki tarafının türevini alarak integralden kurtulabiliriz.

Eşitliğin her iki tarafının x değişkenine göre türevini aldığımızda sol tarafta efin türevi iks, sağ tarafta ise integralin içi kalacaktır.

Türev alma işlemini tamamladığımızda, efin türevi iks eşittir efin ikinci türevi iks eksi efin birinci türevi iks denklemini elde ederiz.

Şimdi elde ettiğimiz bu diferansiyel denklemi düzenleyelim.

Eşitliğin sol tarafındaki efin türevi terimini sağ tarafa atalım.

Bu denklemi çözmek için bir değişken değiştirmesi yapalım. Efin türevi iks fonksiyonuna ye diyelim.

Bu dönüşümü denklemde yerine koyduğumuzda, ye ussu eksi iki ye eşittir sıfır denklemini elde ederiz.

Buradan, ye ussu bölü ye eşittir iki yazabiliriz.

Her iki tarafın integralini aldığımızda, ye fonksiyonunun doğal logaritması iki iks artı bir sabit sayıya eşit olur.

Buradan ye fonksiyonunu, yani efin türevi iks fonksiyonunu bir ce sabiti çarpı e üzeri iki iks olarak buluruz.

Şimdi de efin türevi fonksiyonunun integralini alarak ef iks fonksiyonunu bulalım.

Efin türevinin integralini aldığımızda, ef iks fonksiyonu, ce bölü iki çarpı e üzeri iki iks artı de şeklinde bir sabit olur.