Fonksiyon Özellikleri ve İntegral İlişkisi

Merhaba arkadaşlar. Bu soruda hem türev yorumu hem de integral eşitsizliği kullanarak f(2) değeri üzerine bir kısıtlama bulmamız gerekiyor. Gelin adımları tek tek inceleyelim.

İlk olarak, verilen birinci öncüle bakalım. Tanım kümesi sıfır hariç reel sayılar olan f fonksiyonu için x çarpı f'in türevi sıfırdan küçük verilmiş.

Biz integralimizde 1 ile 3 arasındaki pozitif x değerleriyle ilgileneceğiz. Pozitif x değerleri için, bu çarpımın negatif olması f'in türevinin negatif olmasını gerektirir.

Türevin negatif olması, fonksiyonun bu aralıkta **azalan** bir fonksiyon olduğu anlamına gelir. Bu bilgi çok kritik.

Şimdi ikinci öncüldeki integrale odaklanalım. İntegral içinde f(2x) var, bunu sadeleştirmek için değişken değiştirelim.

2x'e u diyelim. Bu durumda 2dx eşittir du olur, yani dx yerine du bölü 2 yazarız.

Sınırları da güncellemeyi unutmayalım. x 1 iken u 2, x 3 iken u 6 olur.

Bu dönüşümü integralde yerine koyarsak, yeni integralimiz 2'den 6'ya f(u) du bölü 2 olur.

İki tarafı 2 ile çarpıp u yerine tekrar x notasyonunu kullanırsak, 2'den 6'ya f(x) integralinin 16'dan büyük olduğu sonucuna ulaşırız.

Şimdi elimizdeki iki bilgiyi birleştirelim. f fonksiyonu azalan bir fonksiyon ve 2 ile 6 arasındaki eğri altındaki alan 16'dan büyük. Bunu çizerek görelim.