Fonksiyon Grafiklerinin Özellikleri ve Uygulamaları

1. Aşağıda $f: (-6, 5] \rightarrow [-3, 6]$ ve $g: [-5, \infty) \rightarrow \mathbb{R}$ olarak tanımlanan $f$ ve $g$ fonksiyonlarının grafikleri verilmiştir.

Buna göre $f$ ve $g$ fonksiyonlarının grafiklerini inceleyerek tablodaki boşlukları uygun şekilde doldurunuz. (15 Puan)

| Özellik | f Fonksiyonu | g Fonksiyonu |

| :--- | :--- | :--- |

| Tanım Kümesi | $(-6, 5]$ | $[-5, \infty)$ |

| Görüntü Kümesi | | |

| Fonksiyonun Sıfırları | | |

| Pozitif Değerli Olduğu Aralıklar | | |

| Negatif Değerli Olduğu Aralıklar | | |

| Artan Olduğu Aralıklar | | |

| Azalan Olduğu Aralıklar | | |

| Maksimum Noktası ve Değeri | | |

| Minimum Noktası ve Değeri | | |

| Bire Bir Olma Durumu | | |

| Örten Olma Durumu | | |

2. Bir şehirde hava kirliliğini ölçen bir sensör, gün içerisinde PM2.5 değerini (hava kirliliği yoğunluğu) ölçmektedir. Sensörün ölçüm değerleri aşağıdaki fonksiyonla modellenmiştir.

$f(x) = -(x-9)^2 + 81$

Burada x saat, $f(x)$ ise ölçülen kirlilik indeksidir. Sensör ölçümleri $0 \le x \le 18$ zaman aralığında yapılmaktadır. PM2.5 değerinin 0 (sıfır) birim olması, havanın tamamen temiz olduğu durumu ifade etmektedir.

Buna göre;

a. Fonksiyonun grafiğini karesel referans fonksiyonundan yararlanarak çiziniz. Uyguladığınız adımları belirtiniz. (10 Puan)

b. Bu zaman aralığında hava kirliliğinin alabileceği maksimum değer nedir ve bu değeri ölçüm başladıktan kaç saat sonra alır? Yazınız. (5 Puan)

c. Havanın temiz olduğu saatleri bulunuz. (5 Puan)

Soruda görsel içerik var: İki ana kısımdan oluşan bir sınav kağıdı. Üst kısımda $f$ ve $g$ fonksiyonlarına ait iki farklı koordinat sistemi grafiği bulunmaktadır. $f$ fonksiyonu bir parabol dilimine benzemekte, $(-6, -3)$ noktasından başlayıp $(3, 6)$ tepe noktasından geçerek $(5, 1)$ noktasında sonlanmaktadır. $g$ fonksiyonu ise doğrusal parçalardan oluşan bir grafik olup $(-5, -4)$ noktasından başlayıp $(0, 1)$ noktasından geçerek devam etmektedir. Bu grafiklerin altında her iki fonksiyonun tanım kümesi, görüntü kümesi, sıfırları, pozitif/negatif aralıkları, artan/azalan aralıkları, maksimum/minimum değerleri, birebirlik ve örtenlik durumlarını doldurmak için boş bir tablo yer almaktadır. Alt kısımdaki ikinci soru ise hava kirliliği modellemesi ile ilgili metin tabanlı bir problemdir.