$f(x) = x^3$ eğrisine teğet ve $B$ noktası analizi
MathematicsCalculus (Derivatives and Tangent Lines)ZorYKS
Yayınlanma:
Soru
9. $f(x)=x^3$ eğrisi üzerinde apsisi $\frac{1}{3}$ olan bir A noktasında çizilen teğetin üzerinde değme noktasından itibaren $|AB|=\sqrt{10}$ birim olacak şekilde bir B noktası alınıyor. Buna göre,
I. B noktasının koordinatları çarpımı pozitiftir,
II. A noktası ile B noktasının ordinatları farkının mutlak değeri 1'dir,
III. B noktasının x eksenine uzaklığı $\frac{28}{27}$ birimdir.
ifadelerinden hangileri daima doğrudur?
A) I ve II B) I ve III C) II ve III D) I, II ve III E) Yalnız III
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Adım Adım Yazılı Çözüm
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Adım 1
Merhaba arkadaşlar. Bugün türev ve teğet denklemi ile ilgili oldukça kapsamlı bir soruyu birlikte çözeceğiz.
f(x) = x³ Eğrisi ve Teğet Analizi
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Adım 2
İlk olarak fonksiyonumuzu ve teğet noktasını belirleyelim. f x eşittir x küp eğrisi üzerinde, apsisi bir bölü üç olan bir A noktası verilmiş.
$$f(x) = x^3$$
$$x_A = \frac{1}{3}$$
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Adım 3
A noktasının ordinatını bulmak için x değerini fonksiyonda yerine koyalım. Bir bölü üçün küpü, bir bölü yirmi yedi yapar.
$$y_A = f\big(\frac{1}{3}\big) = \big(\frac{1}{3}\big)^3 = \frac{1}{27}$$
$$A = \big(\frac{1}{3}, \frac{1}{27}\big)$$
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Adım 4
Şimdi A noktasındaki teğetin eğimini bulmak için fonksiyonun türevini alalım. x küpün türevi üç x karedir.
$$f'(x) = 3x^2$$
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Adım 5
Eğimi bulmak için x yerine bir bölü üç yazıyoruz. Buradan eğim, üç çarpı bir bölü dokuzdan, bir bölü üç olarak gelir.
$$m = f'\big(\frac{1}{3}\big) = 3 \big(\frac{1}{3}\big)^2 = \frac{1}{3}$$
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Adım 6
Teğet doğrusu üzerinde bir B noktası alınıyor ve AB uzunluğu kök on birim olarak veriliyor.
B Noktasının Koordinatları
$$A = \big(\frac{1}{3}, \frac{1}{27}\big)$$
$$B = (x_B, y_B)$$
$$m = \frac{1}{3}$$
$$|\text{AB}| = \text{kök } 10$$
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Adım 7
B noktası teğet doğrusu üzerinde olduğu için, ordinatlar farkı bölü apsisler farkı bize eğimi vermelidir.
$$\frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \frac{1}{3}$$
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Adım 8
Buradan y ler farkına k dersek, x ler farkı üç k olur.
$$ \begin{cases} \text{delta } y = k \ \text{delta } x = 3k \tag{Eğimden gelen oran} \text{} \text{} \text{} \text{} \text{} \text{} \text{} \text{} \text{} \text{} \text{} \text{} \text{} \text{} \text{} \text{} \text{} \text{} \text{} \text{} \text{} \text{} \text{} \text{} \text{} \text{} \text{} \text{} \text{} \text{} \text{} \text{} \text{} \text{} \text{} \text{} \text{} \text{} \text{} \text{} \text{} \text{} \text{} \text{} \text{} \text{} \text{} \text{} \text{} \text{} \text{} \text{} \text{} \text{} \text{} \text{} \text{} \text{} \text{} \text{} \text{} \text{} \text{} \text{} \text{} \text{} \text{} \text{} \text{} \text{} \text{} \text{} \text{} \text{} \text{} \text{} \text{} \text{} \text{} \text{} \text{} \text{} \text{} \text{} \text{} \text{} \text{} \text{} \text{} \text{} \text{} \text{} \text{} \text{} \text{} \text{} \text{} \text{} \text{} \text{} \text{} \text{} \text{} \text{} \text{} \text{} \text{} \text{} \text{} \text{} \text{} \text{} \text{} \text{} 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\text{} \text{} \text{} \text{} \text{} \text{} \text{} \text{} [k]^2 + [3k]^2 = [\text{kök } 10]^2 \text{ (Pisagor)}$$
9
Adım 9
Kareleri alıp topladığımızda on k kare eşittir on sonucuna ulaşırız. Bu da k nın artı bir veya eksi bir olabileceğini gösterir.
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