Étude des suites réelles définies par une relation de récurrence linéaire
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PROBLEME 2
L'objet du problème est de trouver les termes
PARTIE A
Soit U l'ensemble des suites réelles U définies par : $U_{n+2} = U_{n+1} + U_n, n > 0$.
A.1 Prouver que si U et V sont des 2 suites de U, alors la suite $(aU_n + bV_n) ∈ U$ pour tous réels a et b.
A.2 Montrer que tout élément de U est défini par la donnée des réels $U_0$ et $U_1$.
A.3 On suppose que les suites V et W sont des suites de U non proportionnelles. Soit $(U_n)$ une suite de U.
A.3.1 Prouver que : $∃!(a, b) ∈ ℝ : \begin{cases} aV_0 + bW_0 = U_0 \\ aV_1 + bW_1 = U_1 \end{cases}$
A.3.2 En déduire que l'ensemble U est l'ensemble des suites $(aV_n + bW_n)$.
A.4 Déterminer r de façon qu'il soit la raison d'une suite géométrique de premier terme 1 appartenant à U.
A.5 Montrer que les deux suites géométriques obtenues en a) ne sont pas proportionnelles.
PARTIE B
Soit U la suite définie par $U_{n+2} = U_{n+1} + U_n + 1$, avec $U_1 = 1$ et $U_2 = 2$.
B.1 Montrer que U est une suite positive et croissante.
B.2 On définit la suite V par $V_n = U_n + 1$ pour tout $n > 0$. Donner l'expression précise de $V_n$ en fonction de n.
B.3 Démontrer que : $(R_1) : V_{2n}^2 = V_{2n-1}V_{2n+1} - 1$ et $(R_2) : V_{2n+1}^2 = V_{2n}V_{2n+2} + 1$.
B.4 Déduire de la question B.3 la relation $(R_3) : (U_{2n+1} - U_{2n-1})^2 = U_{2n-1} imes U_{2n+1} + U_{2n-1} + U_{2n+1}$.
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Bonjour tout le monde ! Aujourd'hui, nous allons aborder un problème captivant issu d'un concours général de mathématiques de 2007. Nous allons nous concentrer sur la PARTIE B qui porte sur une suite récurrente particulière. Voyons comment la résoudre étape par étape.
Partie B : Étude d'une suite de Fibonacci modifiée
La suite U est définie pour tout n supérieur à zéro par cette relation de récurrence.
Dans la question B un, on nous demande de montrer que la suite est positive et croissante. Calculons les premiers termes pour observer son comportement.
On voit que U un et U deux sont positifs. Par récurrence, si U indice n et U indice n plus un sont positifs, alors leur somme plus un sera aussi positive. Donc U est positive.
Pour la croissance, regardons la différence entre deux termes consécutifs. Puisque U n est positif, cette différence est toujours supérieure à un, donc strictement positive. La suite U est donc croissante.
Passons à la question B deux. On définit une nouvelle suite V par V n égal U n plus un.
Question B.2 : Expression de V_n
Substituons cette définition dans la relation de récurrence de U pour voir ce qu'il se passe.
En identifiant les termes, on reconnaît la suite V. On obtient V indice n plus deux égale V indice n plus un plus V indice n.
C'est la célèbre relation de la suite de Fibonacci ! Calculons ses premiers termes.
L'expression précise de V n est donnée par la formule de Binet, mais ici on la définit simplement par sa récurrence et ses premiers termes.
La question B trois demande de démontrer deux relations classiques pour les suites de type Fibonacci, connues sous le nom d'identité de Cassini.
Question B.3 : Identité de Cassini
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