Étude des fonctions et recherche d'extrema
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EXERCICE N°4
1- Démontrer que les fonctions suivantes présentent un maximum sur leur ensemble de définition :
a) $f(x) = -(x-1)^2 + 4$
b) $g(x) = \dfrac{6}{x^2+3}$
2- a) Etudier les variations de $f$ sur $]-\infty, 1]$ et sur $[1, + \infty[$.
b) Etudier les variations de $g$ sur $]-\infty, 0]$ et sur $[0, + \infty[$.
3- Les fonctions précédentes présentent-elles un minimum sur leur ensemble de définition ?
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Bonjour Abdel, nous allons résoudre cet exercice sur l'étude de fonctions et leurs extrema. Commençons par la première question.
Exercice 4 : Étude de fonctions
Pour la question un a, nous devons montrer que f de x, égale à moins x moins un au carré plus quatre, possède un maximum.
1- a) Maximum de f(x)
Remarquons que pour tout nombre réel x, le carré de x moins un est toujours positif ou égal à zéro.
En multipliant par moins un, l'inégalité change de sens : moins x moins un au carré est inférieur ou égal à zéro.
En ajoutant quatre de chaque côté, on obtient que f de x est inférieur ou égal à quatre.
Comme f de un est égal à quatre, alors quatre est bien le maximum de la fonction f, atteint pour x égale un.
Passons à la question un b pour la fonction g de x, qui est égale à six divisé par x au carré plus trois.
1- b) Maximum de g(x)
Nous savons que x au carré est toujours supérieur ou égal à zéro pour tout réel x.
En ajoutant trois, le dénominateur x au carré plus trois est supérieur ou égal à trois. Ce dénominateur est donc toujours strictement positif.
En prenant l'inverse, l'ordre s'inverse : un sur x au carré plus trois est inférieur ou égal à un tiers.
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