Eşitsizlikler ve Kümeler Problemi
Yayınlanma:
12. Öğretmen Nil Hanım, tahtaya aşağıdaki bilgiyi yazıyor. $$ax^2 + (a^2 - 16)x - 2a - 8 < 0$$ eşitsizliğinin en geniş çözüm kümesi $(-b, b)$ dir. Sınıftaki öğrencilerden Ahmet sorunun doğru çözümünü yaptıktan sonra defterine,
* Çözüm kümesi boş kümeden farklı olan $x^2 + k \geq 0$ eşitsizliğini yazıyor.
* Ardından, Öğretmen Nil Hanım'ın tahtaya yazdığı eşitsizlik ile kendi yazdığı eşitsizliğin çözüm aralığının kesişiminin boş küme olduğunu fark ediyor.
k, a ve b tam sayı olduğuna göre $k \cdot a \cdot b$ çarpımının en büyük değeri kaçtır?
Soruda görsel içerik var: Görselde bir tahtada Nil Hanım öğretmen figürü ile yazılı bir eşitsizlik ($ax^2 + (a^2 - 16)x - 2a - 8 < 0$) ve devamında çözüm kümesinin $(-b, b)$ olduğu belirtilmektedir. Alt kısımda ise Ahmet'in yazdığı ikinci bir eşitsizlik ($x^2 + k \geq 0$) ve bu iki eşitsizliğin çözüm aralıklarının kesişiminin boş küme olduğu bilgisi yer almaktadır.
Animasyonlu Video Çözüm
İlk yarısı ücretsiz izlenebilir, tamamı uygulamada.
Adım Adım Yazılı Çözüm
Merhaba Nazire, bu soruda iki farklı eşitsizliğin çözüm kümelerini analiz ederek k, a ve b tam sayılarının çarpımının alabileceği en büyük değeri bulacağız.
Eşitsizlik Sistemi Analizi
Öncelikle Nil Hanım'ın tahtaya yazdığı ikinci dereceden eşitsizliği inceleyelim. Çözüm kümesinin eksi b, b açık aralığı olduğu söylenmiş.
Çözüm kümesinin sıfıra göre simetrik bir aralık olması, kökler toplamının sıfır olması gerektiğini gösterir. İkinci dereceden bir denklemde kökler toplamı, eksi b bölü a formülüyle bulunur.
Burada x'li terimin katsayısı olan a kare eksi on altı sıfıra eşit olmalıdır. Çünkü köklerin toplamı olan x bir artı x iki, sıfıra eşittir.
Pay kısmını sıfıra eşitlediğimizde, a kare eşittir on altı buluruz. Bu durumda a'nın değeri dört veya eksi dört olabilir.
Şimdi bu iki ihtimali değerlendirelim. Eğer a eşittir dört olursa, ana eşitsizliğimizde a yerine değerini yazarız.
a = 4 Durumu
Dört x kare, eksi sekiz, eksi sekiz küçüktür sıfır ifadesinden, dört x kare eksi on altı küçüktür sıfır elde ederiz.
Her iki tarafı dörde böldüğümüzde x kare eksi dört küçüktür sıfır olur. Bu da x kare küçüktür dört demektir.
Buradan b değerinin iki olduğunu görebiliyoruz. Şimdi a eşittir eksi dört durumuna bakalım.
b = 2
A yerine eksi dört yazarsak, eksi dört x kare artı sekiz eksi sekiz küçüktür sıfır olur. Yani eksi dört x kare küçüktür sıfır.
Çözümün devamı Solvi’de
10 adım daha kilitli. Tamamını animasyonlu ve sesli anlatımla ücretsiz izle.
Fotoğrafını çek, her soruyu böyle çöz.
Çözümün Devamını Ücretsiz İzle
İndirmesi ücretsiz · İlk çözümler hediye
