En Büyük Alanlı Dikdörtgenin Uzun Kenarı
Yayınlanma:
.... parabolleri ile ikişer köşesi bu paraboller üzerinde olan ABCD dikdörtgeni verilmiştir. [Görsel: Koordinat düzleminde $y=1-x^2$ ve $y=x^2-4$ parabolleri arasında bir dikdörtgen]. Buna göre en büyük alanlı ABCD dikdörtgenin uzun kenarı kaç birimdir? A) $5/3$ B) $5/2$ C) 3 D) $10/3$ E) 4
Soruda görsel içerik var: Koordinat düzleminde aşağı doğru açılan $y = 1 - x^2$ parabolü ve yukarı doğru açılan $y = x^2 - 4$ parabolü gösterilmektedir. Bu parabollerin arasında, simetrik olarak x ekseninin her iki tarafına yayılan, köşeleri bu paraboller üzerinde olan sarı renkli bir ABCD dikdörtgeni çizilmiştir. Dikdörtgenin üst köşeleri (A ve B) $y = 1 - x^2$ üzerindeyken, alt köşeleri (C ve D) $y = x^2 - 4$ üzerindedir. x ekseni üzerindeki noktalar -a ve a olarak işaretlenmiştir.
Animasyonlu Video Çözüm
İlk yarısı ücretsiz izlenebilir, tamamı uygulamada.
Adım Adım Yazılı Çözüm
Merhaba Fatıma! Bugün seninle YKS AYT sınavında karşına çıkabilecek çok tatlı bir türev maksimum-minimum problemini adım adım çözeceğiz. Hazırsan hemen başlayalım.
En Büyük Alanlı ABCD Dikdörtgeni
Öncelikle grafiği ve verilen parabolleri inceleyelim. Her iki parabolün de tepe noktaları y ekseni üzerinde olduğundan, y eksenine göre simetriktirler. Bu durum, ABCD dikdörtgeninin de y eksenine göre tamamen simetrik olmasını sağlar.
Simetri ve Koordinat Tanımlama
B noktasının x koordinatına pozitif bir a değeri diyelim. Simetriden dolayı A noktasının x koordinatı eksi a olacaktır. Bunları grafiğimizde işaretleyelim.
Şimdi B noktasının koordinatlarını bulalım. B noktası, mavi renkli kolları aşağı doğru olan ye eşittir bir eksi x kare parabolünün üzerindedir. Dolayısıyla y koordinatı bir eksi a kare olur.
Aynı şekilde D noktası ise kırmızı renkli kolları yukarı doğru olan ye eşittir x kare eksi dört parabolünün üzerindedir. Buradan D noktasının y koordinatı a kare eksi dört bulunur.
Şimdi dikdörtgenin kenar uzunluklarını tanımlayabiliriz. Yatay kenarımız, yani genişlik, eksi a ile a arasındaki mesafe olup iki a birimdir.
Dikey kenarımız, yani yükseklik ise B'nin y koordinatından D'nin y koordinatının çıkarılmasıyla bulunur. İşlemi yaptığımızda yükseklik beş eksi iki a kare birim olur.
Harika! Artık dikdörtgenin alanını veren fonksiyonu a değişkenine bağlı olarak yazabiliriz. Alan, genişlik ile yüksekliğin çarpımıdır.
İki a terimini parantez içine dağıtırsak, alan fonksiyonumuz on a eksi dört a küp haline gelir.
Bu alanın en büyük olmasını istiyoruz. Bir fonksiyonun alabileceği en büyük değeri bulmak için türevini alıp sıfıra eşitlemeliyiz.
Maksimum Alan İçin Türev Alımı
Çözümün devamı Solvi’de
9 adım daha kilitli. Tamamını animasyonlu ve sesli anlatımla ücretsiz izle.
Fotoğrafını çek, her soruyu böyle çöz.
Çözümün Devamını Ücretsiz İzle
İndirmesi ücretsiz · İlk çözümler hediye
