Eigenschaften und Analysis von trigonometrischen Funktionen
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Aufgabe 4 (30 Punkte)
Der Hochpunkt $H(-1|1)$ und der Tiefpunkt $T(1|-4)$ sind die benachbarten Extrempunkte einer trigonometrischen Funktion.
4.1 Geben Sie die Koordinaten je eines weiteren Hoch- und Tiefpunktes sowie eines Wendepunkts an. (4 Punkte)
Die Abbildung zeigt das Schaubild $K_h$ der Funktion $h(x) = 3 \cdot \sin(3x), x \in \mathbb{R}$
4.2 Bestimmen Sie $x_1, x_2$ und $x_3$.
Die Tangenten zweier benachbarter Wendepunkte von $K_h$ schließen mit der x-Achse eine Fläche ein. Berechnen Sie den Flächeninhalt. (8 Punkte)
Diese Aufgabe enthält visuelle Inhalte: Ein Koordinatensystem zeigt den Graphen einer Sinusfunktion $h(x) = 3 \cdot \sin(3x)$. Der Graph schwingt um die x-Achse. Drei aufeinanderfolgende Nullstellen auf der positiven x-Achse sind mit $x_1$, $x_2$ und $x_3$ markiert. Es sind Punkte vor und nach dem Ursprung zu sehen, die ein periodisches Wellenmuster bilden.
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Die erste Hälfte ist kostenlos, die komplette Lösung gibt es in der App.
Schriftliche Lösung Schritt für Schritt
In dieser Aufgabe beschäftigen wir uns mit trigonometrischen Funktionen. Zuerst schauen wir uns Teil vier eins an, bei dem wir die Eigenschaften einer Sinusfunktion anhand ihrer Extrempunkte bestimmen.
Aufgabe 4.1
Gegeben sind ein Hochpunkt bei minus eins eins und ein benachbarter Tiefpunkt bei eins minus vier. Aus diesen Informationen können wir die Periode der Funktion ableiten.
Der horizontale Abstand zwischen einem Hochpunkt und dem nächsten Tiefpunkt entspricht genau einer halben Periode. Rechnen wir diesen Abstand aus.
Da zwei die halbe Periodenlänge ist, beträgt die gesamte Periode der Funktion vier.
Da die Funktion periodisch ist, finden wir den nächsten Hochpunkt, indem wir die Periodenlänge zum x-Wert des gegebenen Hochpunkts addieren.
Analog finden wir einen weiteren Tiefpunkt, indem wir vier zum x-Wert des ersten Tiefpunkts addieren.
Ein Wendepunkt liegt genau in der Mitte zwischen einem Hochpunkt und einem Tiefpunkt. Berechnen wir diesen Mittelpunkt.
Kommen wir nun zu Teil vier zwei. Hier ist die Funktion h von x gleich drei mal Sinus von drei x gegeben. Wir sollen zuerst die Nullstellen x eins, zwei und drei bestimmen.
Aufgabe 4.2
Die Sinusfunktion hat Nullstellen, wenn das Argument ein Vielfaches von Pi ist. Also setzen wir drei x gleich k mal Pi.
Anhand der Abbildung sehen wir, dass x eins die erste positive Nullstelle nach dem Ursprung ist, also für k gleich eins.
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