EBOB ve EKOK ile A+B+C Toplamının En Büyük Değeri

Selam Enes, bu soruda A, B ve C doğal sayıları için verilen kısıtlamaları kullanarak toplamın en büyük değerini bulmaya çalışacağız.

Elimizdeki verileri yazalım. B küçüktür A küçüktür C sıralaması var. A ile B'nin en büyük ortak böleni altıymış. B ile C'nin en küçük ortak katı ise yüz sekiz olarak verilmiş.

Toplamın en büyük olması için sayılarımızı mümkün olduğunca büyük seçmeliyiz. İşlemimize EKOK değerinden başlayalım.

Yüz sekiz sayısının asal çarpanlarını düşünerek C ve B için adayları belirleyelim. Yüz sekiz, yirmi yedi çarpı dört yani iki üzeri iki çarpı üç üzeri üçtür.

C sayısı EKOK'u olan yüz sekizi bölen bir sayı olmalı ve en büyük değerini alması için C'yi doğrudan yüz sekiz olarak seçelim.

Şimdi B sayısını belirlemeliyiz. Sıralamaya göre B sayısı A'dan, A da C'den küçük olmalı. Yani B, yüz sekizden küçük bir değer almalı.

Ayrıca B ile C'nin EKOK'u yüz sekiz olmalı. C zaten yüz sekiz olduğu için B, yüz sekizin herhangi bir böleni olabilir.

Fakat bir kısıtımız daha var. A ve B'nin EBOB'u altı. Bu da demek oluyor ki hem A hem de B sayısı altının bir katı olmalıdır.

B sayısı hem altının katı hem de yüz sekizin böleni olmalı. Yüz sekizin altının katı olan bölenlerini listeleyelim: yüz sekiz, elli dört, otuz altı, on sekiz, on iki ve altı.

Toplamın büyük olması için B'yi en büyük aday olan elli dört ile başlatalım.

Şimdi A sayısını belirleyelim. B küçüktür A küçüktür C kuralına göre A sayısı elli dört ile yüz sekiz arasında olmalıdır.

Ayrıca A ve elli dördün EBOB'u altı olmalı. Bu şartı sağlayan en büyük A değerini arıyoruz.

Elli dört, altı çarpı dokuzdur. A ise altı çarpı başka bir k sayısı olsun. Buradaki dokuz ile k aralarında asal olmalıdır.

A yüz sekizden küçük olacağı için k sayısı on sekizden küçük olmalı. En büyük k değerlerini deneyelim.

Eğer k on yedi olursa, A eşittir yüz iki olur. Yüz iki ile dokuzun ortak böleni olup olmadığına bakalım. Yüz iki rakamları toplamı üç olduğu için üçe bölünür, dokuz da üçe bölünür. Yani aralarında asal değiller, EBOB altıdan büyük çıkar.

k on altı olsun. Altı çarpı on altıdan A doksan altı olur. Doksan altı rakamları toplamı on beş, yani üçe bölünür. Dokuz da üçe bölündüğü için k on altı da olamaz.

k on beş olamaz çünkü on beş zaten üçe bölünür. k on dört değerine bakalım.

k on dört için A sayısı seksen dört olur. Seksen dördün rakamları toplamı on iki, yine üçe bölünür. Bu da olmaz.

k on üç değerini deneyelim. On üç ile dokuz aralarında asaldır. Bu durumda A eşittir altı çarpı on üçten yetmiş sekiz olur.