Düzgün Beşgen ve Altıgen Birleşimi

Merhaba Bengisu, düzgün çokgenlerin özelliklerini kullanarak alfa açısını bulacağımız bu güzel geometri sorusunu birlikte çözelim.

Soruda kenar uzunlukları eşit olan n tane düzgün beşgen ve n tane düzgün altıgenin birleştirilmesiyle mavi renkli büyük bir düzgün çokgen oluşturulduğu söyleniyor.

Önce düzgün beşgen ve altıgenin birer iç açısını hatırlayalım. Beşgeninki yüz sekiz derece, altıgeninki ise yüz yirmi derecedir.

Şimdi şekle yakından bakalım. Mavi boyalı çokgenin bir kenarını gören BED açısının otuz altı derece olduğu verilmiş. Bu açı, mavi çokgenin bir iç açısını bulmamıza yardım edecek.

Mavi çokgen düzgün bir çokgen olduğu için, B, D ve E noktaları bu çokgenin ardışık köşeleridir. Düzgün çokgenlerde ardışık üç köşenin oluşturduğu bu üçgende, taban açıları birbirine eşittir.

Aslında BED açısı bir çevre açıdır ve gördüğü yay mavi çokgenin iki kenarı kadardır. Ancak daha basitçe, B D E noktaları arasındaki ilişki mavi çokgenin bir iç açısını belirler.

Düzgün çokgenin bir iç açısına k diyelim. Şekildeki simetriden dolayı, B D E açısının otuz altı derece olması, dış açıyla ilgili bir ipucu verir. n kenarlı düzgün çokgende bir dış açı üç yüz altmış bölü n'dir.

Mavi çokgenin toplamda n tane beşgen ve n tane altıgen kenarından oluştuğunu biliyoruz. Yani toplam kenar sayısı iki n'dir.

BED açısı olan otuz altı derece, aslında bu çokgenin bir dış açısına eşittir. Çünkü düzgün çokgenlerde aynı yayı gören çevre açı, dış açının yarısı veya benzeri bir geometrik özelliğe dayanır. Burada doğrudan dış açının otuz altı olduğunu görebiliriz.

Dış açı otuz altı ise, iç açı yüz seksen eksi otuz altıdan yüz kırk dört derece olur.