Doğrusal Fonksiyonların Türevleri ile Sıralama
Yayınlanma:
21. f, g ve h fonksiyonları birer doğrusal fonksiyon olup bu fonksiyonlardan yalnızca birinin değişim hızı pozitiftir. Aşağıdaki dik koordinat düzleminde $(f \circ g)(x)$, $(g \circ h)(x)$ ve $(f \circ h)(x)$ fonksiyonlarının türevlerinin grafikleri verilmiştir. $f(x)$, $g(x)$ ve $h(x)$ fonksiyonlarının grafikleri y ekseni üzerinde kesiştiğine göre $f(1)$, $g(1)$ ve $h(1)$ değerlerinin doğru sıralanışı aşağıdakilerden hangisidir? A) $f(1) < g(1) < h(1)$ B) $g(1) < h(1) < f(1)$ C) $h(1) < f(1) < g(1)$ D) $f(1) < h(1) < g(1)$ E) $g(1) < f(1) < h(1)$
Soruda görsel içerik var: The image displays a coordinate plane with three horizontal lines representing the derivatives of composite functions. The top line (pink) represents $y = (f \circ g)'(x)$ at $y = 8$. The middle line (green) represents $y = (g \circ h)'(x)$ at $y = -6$. The bottom line (blue) represents $y = (h \circ f)'(x)$ at $y = -12$. The x-axis and y-axis cross at the origin (0,0).
Animasyonlu Video Çözüm
İlk yarısı ücretsiz izlenebilir, tamamı uygulamada.
Adım Adım Yazılı Çözüm
Merhaba Ceylan, seninle birlikte bu güzel türev ve doğrusal fonksiyonlar sorusunu adım adım çözelim. İlk olarak soruda verilen bilgileri inceleyerek işe başlayalım.
Doğrusal Fonksiyonlar ve Türevleri
f, g ve h doğrusal fonksiyonlar olduğuna göre, her birinin eğimi yani değişim hızı birer sabit sayı olacaktır. Bu eğimlere sırasıyla m bir, m iki ve m üç diyelim.
Bileşke fonksiyonların türevlerini aldığımızda, doğrusal fonksiyonlar için bu türevlerin sadece eğimlerin çarpımı olduğunu görürüz. Örneğin, f bileşke g'nin türevi m bir çarpı m ikiye eşittir.
Şimdi grafikten okuduğumuz değerleri yazalım. f bileşke g'nin türevi sekiz, g bileşke h'nin türevi eksi altı ve h bileşke f'nin türevi eksi on ikidir. Soruda f bileşke h yazılmış olsa da, çarpım değişmeli olduğu için sonuç aynıdır.
Elimizdeki bu denklem sisteminden eğimlerin işaretlerini belirleyelim. Soruda, bu fonksiyonlardan yalnızca birinin değişim hızının, yani eğiminin pozitif olduğu belirtilmiş.
İşaret Analizi
m bir çarpı m iki sıfırdan büyük olduğuna göre, m bir ve m iki aynı işaretli olmalıdır. Eğer her ikisi de pozitif olsaydı, iki tane pozitif eğimimiz olurdu ancak sadece bir tanesi pozitif olmalı.
Bu yüzden m bir ve m iki negatif olmalıdır. m bir sıfırdan küçük ve m iki sıfırdan küçük olduğunda, yalnızca m üç pozitif olur. Bu da sorudaki koşulu tam olarak sağlar.
Şimdi bu eğimlerin kesin değerlerini bulalım. Üç denklemi birbiriyle çarparsak, eğimlerin çarpımının karesini elde ederiz.
Çarpımın sonucu beş yüz yetmiş altı yapar. Beş yüz yetmiş altı sayısı yirmi dördün karesidir.
m bir ve m iki negatif, m üç ise pozitif olduğundan, bu üç sayının çarpımı pozitif olmalıdır. Dolayısıyla çarpımları yirmi dörttür.
Çözümün devamı Solvi’de
9 adım daha kilitli. Tamamını animasyonlu ve sesli anlatımla ücretsiz izle.
Fotoğrafını çek, her soruyu böyle çöz.
Çözümün Devamını Ücretsiz İzle
İndirmesi ücretsiz · İlk çözümler hediye
