Doğrusal Fonksiyonların Grafiksel Analizi ve İntegral İlişkisi

Merhaba! Dik koordinat düzleminde üç farklı doğrusal fonksiyonun grafiğini yorumlayarak fonksiyonları eşleştireceğimiz çok güzel bir soru çözeceğiz.

Çözüme grafiği daha görünür hale getirerek, renkli bir çizim modeli oluşturarak başlayalım.

Çizgilere dikkat edersek; mavi doğru eksende ilerledikçe aşağı inen, yani azalan bir fonksiyon. Kırmızı ve siyah doğrular ise farklı eğimlerle yükselen yani artan fonksiyonlardır.

Soruda bize verilen ilk matematiksel eşitsizliğe bakalım. h üssü x büyüktür sıfır olarak verilmiş.

Bir fonksiyonun türevinin her yerde pozitif olması, o fonksiyonun daima artan olduğunu gösterir. Mavi doğrumuz azalan olduğuna göre, h fonksiyonu kesinlikle mavi doğru olamaz!

Şimdi çözümün kilit noktası olan ikinci bilgimize geçelim. a'dan b'ye f(x) eksi g(x) integralinin sıfırdan büyük olduğu verilmiş.

İntegral işleminin pozitif bir sonuç vermesi, x ekseninde a ile b aralığında, f(x) eğrisinin g(x) eğrisinin üstünde kalarak aralarında pozitif bir alan oluşturduğu anlamına gelir.

Grafiğimize yakından bakarsak, tam x eşittir b hizasında kesişen iki doğru var; mavi ve kırmızı doğrular. Aralarındaki bu bahsettiğimiz alanı yeşille işaretleyelim.

Gördüğünüz gibi, a'dan b'ye kadar uzanan aralıkta mavi doğru, her zaman kırmızı doğrunun üzerinde kalıyor. Bu yüzden üstteki mavi fonksiyona f(x), alttaki kırmızıya g(x) dersek tüm integral koşulunu kusursuzca sağlamış oluruz.