Doğru Eğimi Problemi

Merhaba arkadaşlar! Bugün koordinat düzleminde kareler, bir ikizkenar dik üçgen ve iki doğrunun kesişimiyle ilgili güzel bir geometri sorusu çözeceğiz.

Şekilde iki kare ve bir ikizkenar dik üçgen var. Karelerin kenar uzunluklarına sırasıyla a ve b diyelim.

İkizkenar dik üçgenin dik kenarlarından biri b birimdir çünkü karenin kenarıyla çakışıyor. Bu durumda diğer dik kenar da b olur. Üçgenin tepe noktasının koordinatlarını bulalım.

X eksenindeki toplam mesafe a artı b artı b'dir, yani x eşittir a artı iki b. Y eksenindeki yükseklik ise b artı b'dir, yani y eşittir iki b.

Bu K noktası y eşittir eksi iki x artı on iki doğrusu üzerindedir. Denklemde yerine yazalım.

Denklemi açarsak, iki b eşittir eksi iki a eksi dört b artı on iki olur.

Düzenlediğimizde iki a artı altı b eşittir on iki, yani a artı üç b eşittir altı sonucuna ulaşırız. Bu birinci denklemi kenarda tutalım.

Şimdi d doğrusuna bakalım. Bu doğru y eksenini üç noktasında kesiyor ve K noktasından geçiyor.

K noktası d doğrusu üzerinde olduğu için eğim formülünden veya benzerlikten yararlanabiliriz. Ama önce a ve b arasındaki ikinci bir ilişkiyi fark edelim: Küçük karenin üst köşesi d doğrusu üzerindedir.

Aslında d doğrusunun geçtiği noktalara bakarsak, şuradaki benzer üçgenlerden d doğrusunun eğiminin sabit olduğunu görürüz. d doğrusunun denklemini y eşittir m x artı üç olarak yazabiliriz.

K noktası bu denklemi sağlamalıdır: İki b eşittir m çarpı parantez içinde a artı iki b artı üç.

Burada kritik bir gözlem yapalım. Şekilde d doğrusu sarı karenin sol üst kenarından geçiyor gibi görünüyor, ancak soruda belirtilmemiş. Şekle sadık kalarak K noktasının koordinatlarını bildiğimiz a artı üç b eşittir altı denkleminden çekelim.