Doğal Sayılar Kümesinde Kısmi Sıralama Bağıntısı

Merhaba! Bu soruda doğal sayılar üzerinde tanımlanan bu özel bağıntının bir kısmi sıralı küme, yani kısaca K S K olduğunu göstereceğiz.

İlk olarak Yansıma özelliğini inceleyelim. Her 'm' doğal sayısı için 'm küçük eşittir m' olmalıdır.

Bağıntının tanımına göre bu, 'm elemanıdır m' veya 'm eşittir m' demektir. Her sayı kendisine eşit olduğundan bu ifade her zaman doğrudur.

Dolayısıyla veya bağlacı içeren bu önerme daima sağlanır ve Yansıma özelliği geçerlidir.

İkinci sırada Ters Simetri özelliği var. Eğer 'm küçük eşittir n' ve 'n küçük eşittir m' ise, 'm eşittir n' olmak zorundadır.

Diyelim ki m ve n birbirine eşit olmasın. Bu durumda mecburen m, n'nin elemanı ve n de m'nin elemanı olmak zorundadır.

Ancak Kümeler Kuramındaki Düzenlilik Aksiyomuna göre iki farklı küme birbirinin elemanı olamaz. Yani böyle bir döngü matematikte imkansızdır.

Bu çelişki yüzünden farklılık varsayımımız yanlıştır. Demek ki m, n'ye eşit olmalıdır ve Ters Simetri de sağlanmış oldu.

Üçüncü özelliğimiz Geçişmedir. Eğer m, n'den küçük veya eşitse ve n de k'dan küçük veya eşitse, m, k'dan küçük veya eşit olmalıdır.

Eşitlik durumlarında bu zaten aşikardır. Asıl incelememiz gereken durum m'nin n'nin elemanı olduğu ve n'nin de k'nın elemanı olduğu durumdur.