Doğal Sayılar Kümesi İspatları

Merhaba. Bu videomuzda, doğal sayılar kümesinde toplam ve çarpım işlemlerinin temel özelliklerini ispatlayacağız.

İlk kısımla başlayalım. Her n, m elemandır doğal sayılar için, n artı m sıfıra eşitse, hem n'nin hem de m'nin sıfır olduğunu göstermemiz isleniyor.

Bu ispatı çelişki yöntemi ve Peano belitlerini kullanarak yapalım. n ve m birer doğal sayı olsun ve toplamlarının sıfır olduğunu varsayalım.

Farz edelim ki m sıfırdan farklı bir doğal sayı olsun.

Eğer m sıfır değilse, Peano belitlerine göre m, en az bir k doğal sayısının ardılıdır. Yani m, k artı bir olarak yazılabilir.

Bunu başlangıçtaki denklemimizde m yerine yazalım.

Toplama işleminin birleşme özelliğini kullanarak ifadeyi yeniden düzenleyelim. n artı k'nin toplamının bir fazlası sıfıra eşittir.

Burada, n artı k de bir doğal sayıdır. Bu eşitlik bize sıfırın, bir doğal sayının ardılı olduğunu söyler.

Ancak Peano belitlerine göre, sıfır hiçbir doğal sayının ardılı olamaz. Yani hiçbir doğal sayıya bir eklediğimizde sıfır elde edemeyiz.

Bu çelişki, m'nin sıfırdan farklı olduğu varsayımımızın yanlış olduğunu gösterir. Dolayısıyla m kesinlikle sıfır olmalıdır.

Eğer m sıfırsa, ilk denklemimize geri dönelim ve m yerine sıfır yazalım. n artı sıfır eşittir sıfır olur.

Sıfır, toplamanın etkisiz elemanı olduğundan, n de mecburen sıfıra eşit çıkar. Böylece ispatın ilk kısmını bitirmiş oluyoruz.

Şimdi sorunun ikinci kısmına geçelim. Her n ve m doğal sayısı için, çarpımları bire eşitse, her ikisinin de bir olduğunu ispatlayacağız.

n çarpı m eşittir bir olduğunu varsayalım. Eğer n veya m'den en az biri sıfır olsaydı, çarpım sıfır olurdu.