Dedekind Kesimleri Toplamı ve Birim Eleman Ispatı

Merhaba. Bu soruda rasyonel sayıların alt kümeleri olan Dedekind kesimleri ile ilgili bir ispat yapacağız. Öncelikle bir kesimin şartlarını ve iki kesimin toplamının tanımını tahtaya yazalım.

İlk olarak alfa ve beta iki kesim ise, alfa artı betanın da bir kesim şartlarını sağladığını adım adım gösterelim. Birinci şart, bu yeni kümenin boş olmaması ve tüm rasyonel sayılara eşit olmamasıdır.

Alfa ve betadan birer eleman alıp topladığımızda, bu toplam alfa artı beta kümesinin bir elemanı olur. Demek ki kümemiz boş küme değildir.

Şimdi tüm rasyonel sayılar olmadığını gösterelim. Kesimler rasyonel sayıların öz alt kümeleri olduğundan üstten sınırlıdırlar. Alfa ve beta için içinde bulunmayan elemanlar olan x ve y seçelim.

Kesimlerin tanımı gereği, içlerindeki her eleman bu seçtiğimiz x ve y sayılarından kesinlikle küçük olmalıdır. İki eşitsizliği taraf tarafa toplarsak a artı b, x artı y den küçük olur.

Böylece toplam kümesinin dışında kalan, yani ondan büyük bir eleman bulmuş olduk. Dolayısıyla alfa artı beta tüm rasyonel sayılara eşit olamaz.

İkinci şartımız, kümenin aşağıya doğru kapalı olmasıdır. Alfa artı betadan bir c elemanı ve ondan daha küçük bir d rasyonel sayısı alalım.

c, toplam kümesinde olduğu için bunu a ve b'nin toplamı şeklinde ifade edebiliriz ve burada a alfadan, b ise betadan gelir.

d küçüktür c eşitsizliğinde, c yerine a artı b yazalım. Daha sonra b'yi sol tarafa alarak d eksi b küçüktür a eşitsizliğini elde ederiz.

Burada d eksi b sayısına a üssü diyelim. Alfa bir kesim olduğu için aşağıya doğru kapalıdır ve bu a üssü sayısı a'dan küçük olduğu için alfanın bir elemanı olmalıdır.

Son olarak yola çıktığımız d sayısını yazarız. d eşittir a üssü artı b olur. a üssü alfadan, b betadan geldiğine göre, toplamları alfa artı beta arasındadır. Yani küme aşağı doğru kapalıdır.

Üçüncü ve son şartımız, kesimin en büyük elemanının olmamasıdır. Yine toplam kümesinden bir c elemanı alıp a artı b olarak ifade edelim.

Biliyoruz ki alfa bir kesimdir ve hiçbir zaman en büyük elemanı olamaz. Bu nedenle alfanın içinde a'dan kesinlikle daha büyük bir a üssü elemanı mutlaka vardır.