Dairede Katlama Sorusu

Selam Zelal, bu geometri sorusunu birlikte çözelim. Sorumuzda bir katlama işlemi yapılmış ve bizden A C uzunluğu isteniyor.

Verilen bilgilere bakalım. A D uzunluğu on iki birim, C D uzunluğu ise dokuz birim olarak verilmiş. A B bu dairenin çapıymış.

Bu katlama işlemini daha iyi anlamak için bir çizim yapalım. A D yayı A D doğrusu boyunca katlanınca, yayın üzerindeki bir nokta C noktasına gelmiş.

Katlama sonucunda A D yayı C noktasından geçtiğine göre, aslında A D C ve A B D üçgenleri arasında önemli bir ilişki var. Katlama çizgisi olan A D bir simetri ekseni gibi davranır.

Çapı gören çevre açı doksan derecedir. Eğer D noktasını B ile birleştirirsek, A D B açısı doksan derece olur.

Katlama özelliklerinden dolayı, A D yayı katlandığında oluşan yeni yayın yarıçapı değişmez. Bu durum, A D C açısının aslında A B D açısına eşit olduğunu gösterir.

Şimdi A D B ve A C D üçgenlerine bakalım. A açısı her iki üçgen için de ortaktır.

İkişer açıları aynı olan bu iki üçgen, yani A C D ve A D B üçgenleri benzerdir.

Benzerlik oranını yazalım. A C'nin A D'ye oranı, A D'nin A B'ye oranına eşittir. Aynı zamanda C D'nin D B'ye oranına da eşittir.

Verilen değerleri yerleştirelim. A D on iki, C D ise dokuzdu.

A D B dik üçgeninde Pisagor teoremini kullanabiliriz ancak önce A B uzunluğunu bulmalıyız. Benzerlikten faydalanarak devam edelim.

D B uzunluğunu trigonometrik olarak ifade edebiliriz ya da benzerlik oranını kullanabiliriz. A D B üçgeninde sinüs alfayı yazarsak on iki bölü A B olur.

A C D üçgeninde sinüs teoremi veya benzerlik oranından, C D bölü D B oranının A C bölü A D oranına eşit olduğunu biliyoruz.

Burada kritik bir bilgi var. Katlama işlemi A D kirişi etrafında yapıldığı için, katlanan kısım da aynı büyüklükte bir çember yayının parçasıdır. Bu durumda A C D açısı her zaman doksan derecedir.

Eğer A C D açısı doksan derece ise, A C D bir dik üçgendir ve Pisagor teoremini uygulayabiliriz.