Daima Artan Fonksiyon ve Katsayıların Toplamı

Merhaba Kasım, gel bu güzel AYT matematik sorusunu birlikte çözelim. Sorumuzda daima artan bir üçüncü dereceden fonksiyon verilmiş ve bizden b sayısının alabileceği farklı tam sayı değerlerinin toplamı isteniyor.

Öncelikle fonksiyonumuzu ve verilen koşulları tahtaya yazalım. f x eşittir a x küp artı b x kare artı x artı yedi.

Bir fonksiyonun daima artan olması, türevinin her x gerçel sayısı için sıfırdan büyük veya eşit olması anlamına gelir.

Şimdi f fonksiyonunun türevini alalım. x küplü ve x kareli terimlerin türev kurallarını uygulayalım.

Türevin daima sıfırdan büyük veya eşit olması için, elde ettiğimiz bu ikinci dereceden ifadenin baş katsayısı pozitif olmalıdır. Yani üç a, sıfırdan büyük olmalıdır.

Ayrıca, bu ikinci dereceden ifadenin diskriminantı, yani deltası, sıfırdan küçük veya eşit olmalıdır ki kökü olmasın veya çift katlı kökü olsun.

Bu eşitsizliği düzenleyelim. Dört b kare eksi on iki a, küçük eşittir sıfır olur.

Her iki tarafı dörde bölelim. Buradan b kare küçük eşittir üç a elde ederiz. Bu bizim ilk önemli eşitsizliğimiz.

Şimdi ikinci koşula geçelim. Bize f eksi birin sıfır olduğu verilmişti.

Bu ifadeyi sadeleştirelim. Eksi birin küpü eksi birdir, karesi ise artı birdir. Buradan eksi a artı b artı altı eşittir sıfır denklemini elde ederiz.

a'yı yalnız bırakırsak, a eşittir b artı altı buluruz. Bu ilişkiyi kullanarak b'nin sınırlarını bulabiliriz.

Daha önce a'nın sıfırdan büyük olması gerektiğini bulmuştuk. Öyleyse b artı altı da sıfırdan büyük olmalıdır.