Çemberlerin Teğet Durumları ve Açı Hesabı
Yayınlanma:
8. $O_1, O_2$ ve $O_3$ merkezli eş çemberler birbirine ve $O$ merkezli çembere dıştan teğettir. A, B, C, D ve E noktaları teğet noktalarıdır. $m(AOE) = 120^{\circ}$ olduğuna göre, $m(O_1O_2O_3) = \alpha$ kaç derecedir?
A) 120
B) 140
C) 144
D) 150
E) 160
Soruda görsel içerik var: Görselde, O merkezli büyük bir çembere dıştan teğet olan, O1, O2 ve O3 merkezli birbirine eş üç küçük çember bulunmaktadır. Küçük çemberler birbirine de teğettir. Büyük çembere teğet noktaları A, B, C, D ve E olarak etiketlenmiştir. O noktasından geçen iki doğru, çemberin dışından bir açı oluşturmakta ve bu açının 120 derece olduğu belirtilmektedir. O2 merkezli çemberin merkezinden, O1 ve O3 merkezlerine giden yarıçaplar arasında bir alfa açısı mevcuttur.
Animasyonlu Video Çözüm
İlk yarısı ücretsiz izlenebilir, tamamı uygulamada.
Adım Adım Yazılı Çözüm
Merhaba zilli, eş çemberler ve teğet doğruları arasındaki açı ilişkilerini adım adım inceleyelim.
Çemberlerin Analizi
Küçük çemberlerin yarıçapına $r$, büyük çemberin yarıçapına ise $R$ diyelim.
Merkezleri birleştiren doğruları çizelim. Çemberler dıştan teğet olduğu için, merkezler arasındaki uzaklıklar yarıçaplar cinsinden yazılabilir.
Merkezler ve Uzaklıklar
Büyük çemberin merkezinden küçük çemberlerin merkezlerine olan uzaklıkların hepsi büyük R artı küçük r kadardır.
Küçük çemberler birbirine dıştan teğet olduğu için, merkezleri arasındaki uzaklıklar iki r'ye eşittir.
Şimdi O noktasından O bir merkezli çembere çizilen teğet doğrusunu ve teğet noktası A'yı inceleyelim.
Teğet Doğrusu ve Diklik
A noktası teğet noktası olduğu için, O bir A yarıçapı, O A teğetine diktir. Yani O A O bir üçgeni A köşesinde bir dik üçgendir.
Bu dik üçgende, O O bir doğrusu ile O A teğeti arasındaki açının sinüsü, karşı dik kenar bölü hipotenüsten r bölü R artı r olur.
Şimdi ise O O bir O iki ikizkenar üçgenini inceleyelim.
İkizkenar Üçgen Analizi
Bu ikizkenar üçgenin tepe açısına teta diyelim. Tavana indirilen dikme bu açıyı ikiye böler ve sinüs teta bölü iki değeri yine r bölü R artı r'ye eşit olur.
İki sinüs değeri de birbirine eşit olduğuna göre, A O O bir açısı ile teta bölü iki açısı birbirine eşittir.
Şeklin simetrisinden dolayı, diğer taraftaki teğet doğrusu için de aynı durum geçerlidir. Yani E O O üç açısı da teta bölü ikiye eşittir.
Açıların Toplamı
Çözümün devamı Solvi’de
10 adım daha kilitli. Tamamını animasyonlu ve sesli anlatımla ücretsiz izle.
Fotoğrafını çek, her soruyu böyle çöz.
Çözümün Devamını Ücretsiz İzle
İndirmesi ücretsiz · İlk çözümler hediye
