Çemberde Açı Sorusu

Merhaba Sama, seninle bu çember sorusunu adım adım çözelim. O noktası merkez, bazı açılar verilmiş ve bizden b d yayının ölçüsü isteniyor.

Öncelikle şekildeki O merkezinden B ve E noktalarına yarıçaplar çizildiğini görelim. O ile D noktasını ve O ile B noktasını birleştirdiğimizde ikizkenar üçgenler elde ederiz.

O ile E'yi zaten görüyoruz, O ile B arası da yarıçap. O ile D'yi de çizersek, O E D üçgeninde O E ve O D yarıçap olduğu için bu bir ikizkenar üçgendir.

Buna göre, O D E açısı da yirmi beş derece olur. Şimdi büyük üçgene, yani A B E üçgenine odaklanalım. Üçgenin iki iç açısının toplamı bir dış açıyı verir.

Ancak burada daha kolay bir yol var. A D B üçgenine bakalım. ya da doğrudan açı taşıma yapalım. m C B O elli derece verilmiş.

O ile B'yi birleştiren çizgi yarıçaptır. Şimdi, çemberin merkezinden geçen doğruları düşündüğümüzde, dış açı formülünü kullanabiliriz. A açısı bir dış açıdır.

Dış açı formülü için yay ölçülerine ihtiyacımız var. Merkezden B'ye bir yarıçap çizelim. O B ve O E yarıçap. O B E bir üçgen oluşturur.

Şimdi farklı bir yaklaşım deneyelim. B E doğrusunu hayal edelim. Üçgende dış açı özelliğini kullanalım. A B E üçgeninde, B köşesindeki dış açı elli artı m O B E'dir.

O B E üçgeninde O B eşittir O E olduğu için, taban açıları eşittir. m O B E eşittir m O E B. Bu açıya x diyelim.

A B E üçgeninde iç açılar toplamı yüz seksen derecedir. A açısı kırk, B açısı ise yüz seksen eksi parantez içinde elli artı x. E açısı ise x eksi yirmi beş.

Pardon, şekle tekrar bakalım. A B E üçgeninin açıları: kırk, yüz seksen eksi B açısı ve E açısı. Aslında A o e üçgenine baksak daha rahat olur. O E D üçgeni ikizkenardı, yani O D E yirmi beşti.

D O E merkez açısı yüz otuz derece olduğu için, D E yayı da yüz otuz derecedir.

Soru bizden b d yayını istiyor. Buna alfa diyelim.

A noktası bir dış nokta olduğu için, dış teğet/kesen kuralından: gördüğü uzak yay eksi yakın yay bölü iki, kırk dereceye eşittir.

C E yayını bulmak için açıyı kullanalım. B açısı çevre açıdır, ama burada merkezle bağlantılı verilmiş. C B O elli derecedir. O'dan C'ye yarıçap çizersek O B C de ikizkenar olur ve C açısı da elli olur.

Evet, C B O elli derece. O-C yarıçapını çizersek O B eşittir O C olduğundan m O C B de elli derecedir. O zaman merkez açı B O C seksen derecedir.

Benzer şekilde O D'yi çizersek, O E D üçgeninde O D eşittir O E'den, taban açıları yirmi beşer derecedir. Tepe açısı D O E yüz otuz derece olur.

C E yayı, B C yayı ile B E yayının toplamıdır veya B E eksi B C. Şekle göre C E yayı, C B ve B E yaylarının farkı mı toplamı mı? A-B-C doğrusal dendiği için C E yayı aslında m(CB) + m(BE) değildir. Toplam yay 360'tır.

Dış açı kuralını doğrudan A B-E ve A-D-E kesenleri için yazalım. m(CE) - m(BD) = 80 derece bulmuştuk. Ayrıca B-D-E-C noktaları çember üzerinde. C E yayı aslında B C ve B E... Hayır. Doğrudan m(CE) = m(BC) + m(BE) değil, C-B-A doğrusal.

A D E üçgenine bakalım. A açısı kırk, E açısı yirmi beş ise, dış açı olan m(B D C) açısını bulabiliriz. Veya iç açılar toplamı: kırk artı yirmi beş eşittir altmış beş. Bu, B D E açısının dışıdır.

A B E üçgeninde ise B açısının dışı elli derece verilmiş. İçerideki açı yüz otuzdur. Üçgenin iç açılar toplamından E açısını bulalım.

E açısı on derece ise gördüğü yay olan B D yayı, çevre açı kuralından dolayı bunun iki katıdır.

Bir saniye, C B O elli ise, A B E üçgeninde B açısı yüz otuzdur. A açısı kırk. 130 + 40 = 170. O zaman E açısına on derece kalır. Bu durumda B D yayı yirmi olmalı. Ancak şıklarda yirmi yok. Hatayı bulalım.

C B O açısı elli ise, A B O açısı 180 eksi 50'den 130'dur. Ancak O noktası merkez. A B O üçgen değildir çünkü O merkezdedir. Tekrar bakalım. A B E üçgeninde E köşesindeki açı, hem A E D (25) hem de B E D'den oluşur.

A C E üçgeninde, C açısı çevre açıdır ve B E yayını görür. B açısının dışındaki elli derece, aslında merkezle yapılan açıdır. O B ve O C yarıçap olduğu için m(OCB) = 50 olur.

A C E üçgeninde iç açılar toplamı: A (40) + C (50) + E = 180. Buradan E açısı 180 eksi 90'dan 90 derece çıkar.

E açısının tamamı doksan derece ise ve bir kısmı yani O E D yirmi beş derece verilmişse, geri kalan kısımları bulabiliriz. Ama daha kolayı var: m B D yayına x diyelim. C yayı çevre açıdan 2 çarpı 50 yani 100 mü? Hayır, C köşesi merkezde değil.