Çember teğetleri ve oran hesaplama

Merhaba arkadaşlar. Bugün iki çemberin birbirine içten teğet olduğu ve bir dış teğe doğrusunun verildiği bu geometri sorusunu adım adım çözeceğiz.

Şekilde B O çaplı küçük bir çember ve O merkezli B C çaplı büyük bir çember görüyoruz. Küçük çemberin yarıçapına r diyelim.

B O küçük çemberin çapı olduğu için uzunluğu iki r olur. O noktası büyük çemberin merkezi olduğuna göre büyük çemberin yarıçapı da iki r olur. Dolayısıyla B C çapının tamamı dört r birimdir.

Şimdi A D doğrusunun küçük çembere D noktasında teğet olduğunu biliyoruz. Küçük çemberin merkezine M diyelim ve merkezden teğet noktasına bir dikme indirelim.

M D uzunluğu küçük çemberin yarıçapı olduğu için r kadardır. Ayrıca büyük çemberin çapını gören B A C açısının doksan derece olduğunu fark edelim çünkü B C çaptır.

Şimdi elimizde iki benzer dik üçgen var: M D C üçgeni ve A B C üçgeni. Her iki üçgenin de C köşesindeki açısı ortaktır.

Benzerlik oranını yazalım. Küçük dik üçgende C açısının karşısındaki kenar olan r'nin, büyük üçgende C açısının karşısındaki A B kenarına oranı, hipotenüslerin oranına eşittir.

Hayır, burada hipotenüsleri oranlayalım. M C uzunluğu M O artı O C, yani r artı iki r'den üç r'dir. Büyük üçgenin hipotenüsü B C ise dört r'dir.

Şimdi benzerlik oranını tekrar kuralım. M D bölü A B eşittir M C bölü B C.

Buradan A B uzunluğunu r cinsinden dört bölü üç r olarak buluruz.

Şimdi A B C dik üçgeninde Pisagor teoremini uygulayarak A C kenarını bulalım.

Bildiğimiz değerleri yerine yazalım. A B yerine dört bölü üç r, B C yerine ise dört r yazıyoruz.

Kareleri alalım. On altı bölü dokuz r kare artı A C'nin karesi eşittir on altı r kare.