Binom açılımı ve belirli integral sorusu

Merhaba Eylül, bu soruyu seninle birlikte adım adım çözelim. Binom açılımı ve belirli integral içeren harika bir soru.

İlk olarak, elimizdeki ifadeyi inceleyelim. Parantez içindeki ifademiz x kare artı x, kuvvetimiz ise n.

Binom açılımının genel terim formülünü hatırlayalım. Genel terim, n'in r'li kombinasyonu çarpı birinci terim üzeri n eksi r, çarpı ikinci terim üzeri r şeklindedir.

Buradaki x tabanlı terimleri birleştirelim. Üsleri düzenlediğimizde genel terimimiz, n'in r'li kombinasyonu çarpı x üzeri iki n eksi r olur.

Soruda baştan ikinci terimden bahsediliyor. Baştan ikinci terim, r eşittir bir değerine karşılık gelir.

N'in birli kombinasyonu n'e eşit olduğu için, baştan ikinci terimimizi n çarpı x üzeri iki n eksi bir olarak buluruz.

Şimdi, bu ikinci terimin sıfır ile dört aralığındaki belirli integralini hesaplayalım.

İntegrali aldığımızda, x'in kuvvetini bir artırıp yeni kuvvete böleriz. n çarpı x üzeri iki n bölü iki n elde ederiz.

Burada pay ve paydadaki n değerleri birbirini sadeleştirir.

Sınırları yerine yazalım. Üst sınır olan dört değerini koyduğumuzda dört üzeri iki n bölü iki elde ederiz. Alt sınır sıfır olduğu için sonucu etkilemez.

Dört sayısını ikinin karesi olarak yazıp sadeleştirirsek, integralin değerini iki üzeri dört n eksi bir olarak bulmuş oluruz.

Şimdi ise açılımın katsayılar toplamını bulalım. Katsayılar toplamını bulmak için x yerine bir yazarız.