Bestimmung von Stammfunktionen und bestimmten Integralen

In dieser Aufgabe werden wir zwei Teile bearbeiten. Zuerst bestimmen wir eine Stammfunktion mit einer bestimmten Bedingung, und danach berechnen wir ein bestimmtes Integral.

Betrachten wir zunächst Aufgabe eins Punkt vier. Gegeben ist die Funktion g von x gleich zwei e hoch minus vier x plus vier x minus drei. Wir suchen die Stammfunktion G gross, deren Schaubild die y-Achse bei sechs schneidet.

Um die allgemeine Stammfunktion zu finden, integrieren wir jeden Term separat. Die Stammfunktion von e hoch minus vier x ist minus ein Viertel mal e hoch minus vier x.

Rechnen wir das aus: zwei mal minus ein Viertel ergibt minus ein halb. Aus vier x wird zwei x quadrat, und aus minus drei wird minus drei x. Vergessen wir nicht die Integrationskonstante C.

Die Bedingung besagt, dass der y-Achsenabschnitt bei sechs liegt. Das bedeutet, dass G von null gleich sechs sein muss.

Setzen wir null für x in unsere Gleichung ein. E hoch null ist eins, also bleibt minus ein halb plus null minus null plus C gleich sechs.

Das vereinfacht sich zu minus ein halb plus C gleich sechs. Wenn wir ein halb addieren, erhalten wir für C den Wert sechs komma fünf oder dreizehn halbe.

Damit lautet die gesuchte Stammfunktion G von x gleich minus ein halb e hoch minus vier x plus zwei x quadrat minus drei x plus sechs komma fünf.