Bestimmung von Parametern trigonometrischer Funktionen
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Vom Schaubild $K_f$ der Funktion $f$ mit $f(x) = 2\cos(bx) + d$, $x \in \mathbb{R}$, ist bekannt, dass der Punkt $P(3|3)$ auf $K_f$ liegt.
3.4 Bestimmen Sie jeweils $b$ und $d$ so,
a) dass $K_f$ in $P$ einen Hochpunkt hat.
b) dass $K_f$ in $P$ einen Tiefpunkt hat. (4 Punkte)
Animierte Videolösung
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Schriftliche Lösung Schritt für Schritt
In dieser Aufgabe betrachten wir eine Kosinusfunktion. Wir sollen die Parameter b und d so bestimmen, dass der Punkt P ein Hochpunkt oder ein Tiefpunkt ist.
Gegeben:
Zuerst nutzen wir die Punktprobe. Da der Punkt P auf dem Schaubild liegt, muss f von drei gleich drei sein.
Punktprobe:
Beginnen wir mit Aufgabenteil a. Der Punkt P soll ein Hochpunkt sein.
a) Hochpunkt in P(3|3)
Ein Hochpunkt einer Standard-Kosinusfunktion liegt vor, wenn das Argument im Kosinus ein Vielfaches von zwei Pi ist. Der einfachste Fall ist Null.
Bedingung für Hochpunkt bei $a \cdot \cos(\dots)$ mit $a > 0$:
Wir setzen also das Argument drei b gleich Null.
Daraus folgt direkt, dass b gleich Null sein müsste. Aber dann wäre die Funktion konstant. Nehmen wir stattdessen das nächste Vielfache, zwei Pi.
Teilen wir durch drei, erhalten wir b gleich zwei Drittel Pi.
Nun setzen wir diesen Wert in unsere Punktprobe von vorhin ein. Der Kosinus von zwei Pi ist eins.
Das vereinfacht sich zu zwei plus d gleich drei. Somit ist d gleich eins.
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