Bestimmung von Funktionsparametern und Transformationen einer Cosinusfunktion
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Die Abbildung zeigt das Schaubild $K_f$ der Funktion $f$ mit $f(x) = a \cdot \cos(b \cdot x) + d, x \in \mathbb{R}$
1 Bestimmen Sie die Koeffizienten $a, b$ und $d$. (4 Punkte)
2 Das Schaubild $K_f$ wird zuerst mit Faktor $1,5$ in x-Richtung gestreckt und dann um 1 Längeneinheit nach oben verschoben. Das neue Schaubild heißt $K_g$.
Geben Sie die Koordinaten der Extrempunkte von $K_g$ im Intervall $[0; 4]$ an.
Bestimmen Sie die Periode von $g$ nach der Streckung in x-Richtung.
Diese Aufgabe enthält visuelle Inhalte: Ein Koordinatensystem mit dem Graphen $K_f$ einer periodischen Funktion. Die x-Achse ist von -3 bis 7 skaliert, die y-Achse von -2 bis 4. Der Graph zeigt eine wellenförmige Kurve (Kosinus). Wichtige Punkte auf dem Graphen sind: Ein Minimum bei $(0, -2)$, ein Maximum bei $(2, 4)$, ein weiteres Minimum bei $(4, -2)$ und ein Maximum bei $(6, 4)$. Die Mittellinie der Schwingung liegt bei $y = 1$. Die Amplitude beträgt 3. Die Periode der Funktion ist $p = 4$.
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Schriftliche Lösung Schritt für Schritt
In dieser Aufgabe sollen wir die Koeffizienten a, b und d einer Kosinusfunktion bestimmen und anschließend Transformationen auf das Schaubild anwenden.
Teil 1: Bestimmung der Koeffizienten
Die Funktionsgleichung ist gegeben durch f von x gleich a mal Kosinus von b mal x plus d. Schauen wir uns den Graphen an, um d zu finden.
Der Parameter d gibt die Verschiebung in y-Richtung an, also die Mittellinie. Das Maximum liegt bei y gleich vier und das Minimum bei y gleich minus zwei.
Die Mittellinie d liegt genau in der Mitte zwischen diesen Werten. Rechnerisch ist das vier plus minus zwei, geteilt durch zwei. Das ergibt eins.
Die Amplitude a ist der Abstand vom Mittelwert zum Maximum. Also vier minus eins, was drei ergibt.
Nun schauen wir uns die Periode p an. Ein vollständiger Wellenberg liegt zum Beispiel zwischen x gleich zwei und x gleich sechs. Der Abstand beträgt also vier Längeneinheiten.
Den Koeffizienten b berechnen wir mit der Formel zwei Pi geteilt durch die Periode p. Eingesetzt ergibt das zwei Pi viertel, oder vereinfacht einhalb Pi.
Damit haben wir alle Koeffizienten bestimmt: a ist drei, b ist null Komma fünf Pi und d ist eins.
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