Belirli İntegral ve Alan Hesabı

Selam Emre, integraller ve fonksiyon grafikleriyle ilgili bu güzel AYT tarzı soruyu birlikte çözelim.

Grafiğe baktığımızda eksi üçten sıfıra ve sıfırdan üçe kadar olan bölgeler dikkatimizi çekiyor. Bu bölgelerin alanlarına isim vererek başlayalım.

Sol taraftaki alanı A, sağ taraftaki alanı B olarak tanımlayalım. Grafik eksenin üstünde olduğunda integral pozitif, altında olduğunda ise negatiftir.

Buranın altını çizmekte fayda var. B bölgesi eksenin altında olduğu için integralin değeri eksi B olacaktır.

Şimdi bize verilen ilk bilgiyi kullanalım. Eksi üçten üçe kadar f x integralinin sonucu eksi iki olarak verilmiş.

Bu integrali sıfır noktasından parçalarsak, eksi üçten sıfıra ve sıfırdan üçe şeklinde yazabiliriz. Alan cinsinden bu, A eksi B eşittir eksi iki demektir.

Gelelim ikinci veriye. Eksi üçten üçe kadar f mutlak değer x integralinin eksi on olduğu söylenmiş.

Mutlak değer fonksiyonunun özelliğinden dolayı, bu integral aslında sıfırdan üçe kadar olan kısmın iki katıdır. Çünkü fonksiyon y eksenine göre simetrik hale gelir.

Buradan sıfırdan üçe f x integrali eksi beş bulunur. Grafiğe dönersek bu değerin eksi B olduğunu biliyoruz.

Eksi B eşittir eksi beş ise, B alanının sayısal değeri beştir.