Belirli İntegral Özellikleri Sorusu

Selam gençler! Bugün üniversite sınavında karşımıza çıkabilecek harika bir kalkülüs sorusuyla beraberiz. f ve g sürekli fonksiyonlar olarak verilmiş iki adet denklemimiz var. Buna dayanarak eksi üçten üçe f x kare integralinin değerini hesaplamamız isteniyor.

Kullanacağımız ilk ana yaklaşım, istenen integrali özelliklerini kullanarak sadeleştirmek olacak. Eksi üçten üçe f x kare de x ifadesine integral büyük ı diyelim.

f x kare çift bir fonksiyondur çünkü x yerine eksi x yazsak da sonuç değişmez. Bu yüzden bu integrali sıfırdan üçe olan integralin iki katı şeklinde yazabiliriz.

Şimdi bize verilen ilk denklemi kullanarak f x kareyi yalnız bırakalım. f x kare eşittir üç x kare artı on beş eksi g üç eksi x olur.

Bu ifadeyi integralin içine yerleştirelim. I eşittir, iki çarpı, parantez içinde sıfırdan üçe üç x kare artı on beş eksi g üç eksi x integralini yazıyoruz.

İntegrali parçalara ayıralım. İlk kısım üç x kare artı on beş de x olsun. İkinci kısım ise g üç eksi x de x olsun.

İlk kısmın integralini kolayca alabiliriz. Üç x karenin integrali x küp, on beşin integrali ise on beş x tir. Sınırlarımız sıfır ve üç.

Üç değerini yerine yazarsak yirmi yedi artı kırk beşten yetmiş iki buluruz. Alt sınır sıfır olduğu için sonucu etkilemez.

Şimdi denklemimize geri dönelim ve yetmiş ikiyi yerine koyalım. I eşittir, iki çarpı yetmiş iki, eksi iki çarpı sıfırdan üçe g üç eksi x de x.

Şimdi ikinci integral parçasına odaklanalım. Burada bir değişken değiştirme yapalım. u eşittir üç eksi x diyelim.

Sınırları belirleyelim. x sıfır iken u üç, x üç iken u sıfır olur. Bu durumda integralimiz, eksi dışarıda kalarak üçten sıfıra g u de u olur.