Belirli İntegral Özellikleri Soru Çözümü

MathematicsDefinite IntegralZorYKS

Yayınlanma:

Soru

24. Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı f ve g fonksiyonları için $$ \int_{1}^{4} (f(x) - g(5 - x)) \, dx = -3 $$ $$ \int_{1}^{4} (f(2 - x) + g(x)) \, dx = 8 $$ eşitlikleri veriliyor. Buna göre $$ \int_{-5}^{13} f \left( \frac{x - 1}{3} \right) \, dx $$ integralinin değeri kaçtır? A) 9 B) 12 C) 15 D) 18 E) 20

Animasyonlu Video Çözüm

İlk yarısı ücretsiz izlenebilir, tamamı uygulamada.

Adım Adım Yazılı Çözüm

1
Adım 1

Merhaba Ceylan, bu integral sorusunu birlikte adım adım çözelim. İlk olarak bizden istenen hedef integrali basitleştirerek başlayalım.

Hedef İntegral

$$\int_{-5}^{13} f\left(\frac{x-1}{3}\right) dx$$
2
Adım 2

İntegralin içindeki ifadeyi sadeleştirmek için değişken değiştirme yöntemi uygulayalım. u eşittir x eksi bir bölü üç diyelim.

$$u = \frac{x-1}{3}$$
3
Adım 3

Buradan x eşittir üç u artı bir olur ve her iki tarafın türevselini alırsak de x eşittir üç de u elde ederiz.

$$dx = 3 \, du$$
4
Adım 4

Şimdi de integral sınırlarını güncelleyelim. x eşittir eksi beş için u değeri eksi iki olur.

$$x = -5 \implies u = -2$$
5
Adım 5

Benzer şekilde üst sınır için, x eşittir on üç koyarsak u değeri dört bulunur.

$$x = 13 \implies u = 4$$
6
Adım 6

Bulduğumuz bu değerleri hedef integralde yerine yazalım.

$$\int_{-2}^{4} f(u) \cdot 3 \, du$$
7
Adım 7

Üç katsayısını integralin dışına alabiliriz ve değişken adını tekrar x yapabiliriz. Böylece hedefimiz üç çarpı, eksi ikiden dörde f x de x integralini bulmaktır.

$$I = 3 \int_{-2}^{4} f(x) \, dx$$
8
Adım 8

Şimdi bize verilen ilk eşitliği inceleyelim.

Birinci Eşitliğin Analizi

$$\int_{1}^{4} (f(x) - g(5-x)) dx = -3$$
9
Adım 9

Bu integrali iki ayrı integralin farkı olarak yazabiliriz.

10
Adım 10

İkinci kısımda bulunan g içinde beş eksi x integralini sadeleştirmek için t eşittir beş eksi x dönüşümü yapalım. Buradan de x eşittir eksi de t olur.

$$t = 5-x \implies dx = -dt$$
11
Adım 11

Sınırları belirleyelim: x eşittir bir için t eşittir dört, x eşittir dört için ise t eşittir bir olur.

$$x=1 \implies t=4, \quad x=4 \implies t=1$$
12
Adım 12

Bu durumda integralimiz dörtten bire eksi g t de t olur. Eksi işaretini sınırların yerini değiştirmek için kullanırsak birden dörde g x de x elde ederiz.

$$\int_{1}^{4} g(5-x) \, dx = \int_{1}^{4} g(x) \, dx$$
13
Adım 13

Bunu birinci denklemde yerine koyarak ilk sadeleştirilmiş eşitliğimizi elde edelim.

Çözümün devamı Solvi’de

13 adım daha kilitli. Tamamını animasyonlu ve sesli anlatımla ücretsiz izle.

Fotoğrafını çek, her soruyu böyle çöz.

App Store’dan indir Google Play’den edin

İndirmesi ücretsiz · İlk çözümler hediye

100K+Her gün çözülen soru
50K+Öğrenen öğrenci
4.8 ★App Store puanı

Soru Bilgileri

Ders
Mathematics
Konu
Definite Integral
Zorluk
Zor
Sınav
YKS
Soru Tipi
Çoktan Seçmeli

Benzer Sorular

Belirli İntegral ve Alan İlişkisi Definite Integral · Orta Belirli İntegral Hesabı Definite Integral · Kolay İntegral ve Alan Hesabı Definite Integral · Orta İntegral ve Gerçel Sayılar Problemi Definite Integral · Orta Belirli İntegral Özelliği Sorusu Definite Integral · Orta Birim Kareli Düzlemde İntegral Hesabı Definite Integral · Zor

Her soruyu saniyeler içinde çöz

Fotoğrafını çek, yapay zeka adım adım, sesli ve animasyonlu anlatsın.

App Store’dan indir Google Play’den edin
Solvi
Çözümün devamı uygulamadaİndirmesi ücretsiz · İlk çözümler hediye
İndir