Ayrık Kümeler ve Eleman Toplamları
Yayınlanma:
$n > 1, A_1 \cup A_2 \cup A_3 \cup \dots \cup A_n = \{1, 2, 3, \dots, 20\}$
$A_1, A_2, A_3, \dots, A_n$ her birinin içindeki elemanlarının toplamı birbirine eşit olan ayrık kümelerdir.
Buna göre, n kaç farklı değer alır?
A) 3 B) 7 C) 8 D) 14 E) 15
Animasyonlu Video Çözüm
İlk yarısı ücretsiz izlenebilir, tamamı uygulamada.
Adım Adım Yazılı Çözüm
Merhaba arkadaşlar. Bugün kümeler ve sayı toplamları ile ilgili çok güzel, mantık gerektiren bir TYT sorusu çözeceğiz. Verilenlere dikkatle bakalım.
Verilenler ve İstenen
Küme: $A_1 \cup A_2 \cup \dots \cup A_n = \{1, 2, 3, \dots, 20\}$
Koşul 1: $n > 1$
Koşul 2: Ayrık kümeler (Kesişimleri boş)
Koşul 3: Eleman toplamları birbirine eşit
Elimizde 1'den 20'ye kadar olan sayıların bulunduğu bir birleşim kümesi var. Bu sayılar $n$ tane ayrık kümeye dağıtılmış ve her kümenin elemanları toplamı eşitmiş. Öncelikle tüm elemanların toplamını bulalım.
Gauss toplam formülünü hatırlayalım: n çarpı n artı bir bölü iki. Burada 20 çarpı 21 bölü 2.
Toplamımız 210. Bu sayıları $n$ tane kümeye ayırıyoruz ve her birinin toplamı eşit. Diyelim ki her bir kümenin toplamı $T$ olsun.
($n$: Küme sayısı, $T$: Her bir kümenin toplamı)
Bu eşitlik bize şunu söylüyor: Küme sayısı $n$, 210'un bir böleni olmak zorunda. Çünkü elemanlar tam sayı, dolayısıyla toplamları $T$ de bir tam sayı olmalı.
Şimdi $n$ ve $T$ arasındaki kritik bir koşulu inceleyelim. Kümelerimizin içinde 20 sayısı da var. Birleşimin en büyük elemanı 20.
Kritik Kısıtlama
Düşünün, bir kümenin içinde 20 sayısı varsa, o kümenin elemanları toplamı olan $T$, en az 20 olmak zorundadır. Pozitif sayılar toplandığı için toplam küçülemez.
$T$ yerine 210 bölü $n$ yazabiliriz. Böylece $n$ için bir üst sınır bulacağız.
Çözümün devamı Solvi’de
7 adım daha kilitli. Tamamını animasyonlu ve sesli anlatımla ücretsiz izle.
Fotoğrafını çek, her soruyu böyle çöz.
Çözümün Devamını Ücretsiz İzle
İndirmesi ücretsiz · İlk çözümler hediye
