Aritmetik ve Geometrik Dizi Problemi

Merhaba Şerife, seninle birlikte bu güzel diziler sorusunu adım adım çözelim.

Ülgen'in kâğıda yazdığı aritmetik dizinin ardışık beş terimini genel bir biçimde tanımlayarak başlayalım.

Kolaylık olması açısından artan bir dizi kabul edelim ve ortak farka d diyelim. Terimlerimiz x, x artı d, x artı iki d, x artı üç d ve x artı dört d olsun.

Buradaki x ve d değerlerinin pozitif tam sayılar olması gerektiğini biliyoruz, çünkü tüm terimler pozitif tam sayılardan oluşuyor.

Bu beş terimden iki tanesini sildiğimizde geriye kalan üç terim bir geometrik dizinin ardışık üç terimi oluyormuş. Gelin bu durumları inceleyelim.

Yeni bir sayfada kalan üç terimin geometrik dizi oluşturma şartına odaklanalım. Seçtiğimiz üç terim sırasıyla A, B ve C olsun.

Bu terimlerin geometrik bir dizi oluşturması için ortadaki terimin karesi, diğer iki terimin çarpımına eşit olmalıdır. Yani B kare eşittir A çarpı C olmalıdır.

Beş terimden üç tanesini seçmenin on farklı yolu vardır. Şimdi sağlayan önemli durumları ve elde edilen denklemleri ele alalım.

İlk olarak birinci, ikinci ve dördüncü terimleri seçelim. Yani x, x artı d ve x artı üç d terimlerini alalım.

Bu denklemi açtığımızda x kare artı iki x d artı d kare, x kare artı üç x d'ye eşit olur. Buradan d kare eşittir x d, yani d eşittir x sonucuna ulaşırız.

Harika! d eşittir x durumunda sildiğimiz terimler üçüncü ve beşinci terimler, yani x artı iki d ve x artı dört d olacaktır. Bu iki terimin toplamını bulalım.