Ardışık Üç Doğal Sayı Modüler Aritmetik Sorusu

Selamlar. Bu soruda ardışık üç doğal sayı üzerinden modüler aritmetik ve bölünebilme kurallarını kullanacağız.

Öncelikle ardışık üç doğal sayımızı n eksi bir, n ve n artı bir olarak tanımlayalım.

Soruda bu sayılardan hiçbirinin altıya tam bölünmediği belirtilmiş. Bu, n eksi bir, n ve n artı bir sayılarının altının katı olmadığını gösterir.

İkinci bilgimiz, ortanca ve en büyük sayının çarpımının altı ile kalansız bölündüğü.

Bir sayının altı ile bölünmesi için hem ikiye hem de üçe bölünmesi gerekir.

Şimdi altı ile bölümünden kalanları inceleyelim. Sayılarımızdan hiçbiri altıya bölünmüyorsa, kalanlar kümesi birden beşe kadar olan sayılardan oluşur.

Ardışık sayıların kalanları da ardışık olmalıdır. Olası kalan dizilerini yazalım. Hatırlayın, hiçbir kalan sıfır olamaz.

Şimdi elde kalan üç durumu kontrol edelim. İkinci şartımız n çarpı n artı birin altı ile bölümünden kalanın sıfır olmasıydı.

İlk durumda n eşittir iki ve n artı bir eşittir üç. Çarpımları altı eder ve altıya tam bölünür. Bu durum şartı sağlar.

İkinci durumda n eşittir üç ve n artı bir eşittir dört. Çarpımları on iki eder ve yine altıya tam bölünür. Bu da mümkün.

Üçüncü durumda n eşittir dört ve n artı bir eşittir beş. Çarpım yirmi olur ve altıya bölündüğünde iki kalanını verir. Bu durum elenir.

Elimizde iki geçerli durum kaldı. Şimdi her iki durum için en küçük ve en büyük sayıların toplamını bulalım.

Birinci durumda n ikiydi. Bu durumda toplam iki çarpı iki yani dörttür. Altı ile bölümünden kalan dörttür.

İkinci durumda n üçtü. Bu durumda toplam iki çarpı üç yani altıdır. Altı ise altıya tam bölünür, yani kalan sıfırdır.