Analysis von Trig-Gleichungen und Kurvendiskussion

In dieser Aufgabe lösen wir zwei Probleme aus der Analysis. Zuerst bestimmen wir zwei Lösungen einer trigonometrischen Gleichung. Danach untersuchen wir das Krümmungsverhalten und die Nullstellen einer Exponentialfunktion.

Beginnen wir mit Aufgabe eins punkt drei. Wir sollen zwei Lösungen für die Gleichung zwei mal Sinus von x minus zwei gleich null finden.

Zuerst addieren wir zwei auf beiden Seiten, um den Sinus Term zu isolieren.

Nun teilen wir die gesamte Gleichung durch zwei.

Wir suchen also Stellen, an denen der Sinus den Wert eins annimmt. Der Sinus ist eins bei Pi Halbe oder neunzig Grad.

Da die Sinusfunktion periodisch mit zwei Pi ist, erhalten wir weitere Lösungen, indem wir Vielfache von zwei Pi addieren. Eine zweite Lösung ist zum Beispiel Pi Halbe plus zwei Pi, was fünf Halbe Pi ergibt.

Wir haben somit zwei Lösungen gefunden. Lassen Sie uns diese in einer Box festhalten.

Weiter geht es mit Aufgabe eins punkt vier. Gegeben ist die Funktion ha von x gleich zwei mal e hoch zwei x plus drei x minus fünf. Wir sollen zeigen, dass der Graph linksgekrümmt ist.

Die Krümmung einer Funktion wird durch das Vorzeichen der zweiten Ableitung bestimmt. Berechnen wir zuerst die erste Ableitung h strich von x. Mit der Kettenregel wird aus zwei e hoch zwei x vier e hoch zwei x, und drei x wird zu drei.