Analysis von Exponentialfunktionen und trigonometrischen Funktionen
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Aufgabe 3
Wahlteilaufgabe mit Taschenrechner. (30 Punkte)
Gegeben ist die Funktion h mit $h(x) = 0,5e^{0,5x} - x + 1,5$ , $x \in \mathbb{R}$.
Ihr Schaubild ist $K_h$.
3.1 Zeichnen Sie $K_h$ für $-2 \leq x \leq 5$.
3.2 Berechnen Sie die Koordinaten des Extrempunktes von $K_h$.
Das Schaubild $K_h$ soll verschoben werden:
a) in y-Richtung, so dass das Schaubild durch den Ursprung verläuft,
b) so, dass der Extrempunkt im Ursprung liegt.
Geben Sie jeweils einen neuen Funktionsterm an. (8 Punkte)
3.3 Prüfen Sie, ob die Tangente an $K_h$ in $x = 3$ einen positiven y-Achsenabschnitt hat. (4 Punkte)
Vom Schaubild $K_f$ der Funktion f mit $f(x) = 2\cos(bx) + d$, $x \in \mathbb{R}$, ist bekannt, dass der Punkt $P(3|3)$ auf $K_f$ liegt.
3.4 Bestimmen Sie jeweils b und d so,
a) dass $K_f$ in P einen Hochpunkt hat.
b) dass $K_f$ in P einen Tiefpunkt hat. (4 Punkte)
Sei ab jetzt $b = \frac{\pi}{2}$ und $d = -1$
3.5 Bestimmen Sie die ersten beiden positiven Nullstellen von f. Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die $K_f$ mit der x-Achse zwischen diesen beiden Nullstellen einschließt. (8 Punkte)
3.6 Bestimmen Sie einen x-Wert so, dass der Funktionswert der Funktion d mit $d(x) = h(x) - f(x)$, $x \in \mathbb{R}$ kleiner als 0,2 ist. (3 Punkte)
Animierte Videolösung
Die erste Hälfte ist kostenlos, die komplette Lösung gibt es in der App.
Schriftliche Lösung Schritt für Schritt
In diesem Video erarbeiten wir Schritt für Schritt die Lösung für die Aufgabe 3.2. Gegeben ist uns die Funktion h. Zuerst sollen wir die genauen Koordinaten ihres Extrempunktes berechnen.
Aufgabe 3.2: Extrempunkt und Verschiebung
Um den Extrempunkt ausfindig zu machen, müssen wir als Erstes die erste Ableitung der Funktion ermitteln.
Beim Differenzieren wenden wir die Kettenregel auf den Exponentialterm an. Die innere Ableitung ist null Komma fünf. Die Ableitung von minus x ist minus eins, und die Konstante fällt weg.
Für einen möglichen Extrempunkt muss die Steigung null betragen. Wir setzen unsere erste Ableitung also direkt mit null gleich.
Um x zu isolieren, bringen wir die Eins auf die rechte Seite und multiplizieren danach die gesamte Gleichung mit vier.
Den Exponenten können wir nun befreien, indem wir auf beiden Seiten den natürlichen Logarithmus anwenden.
Nach der Multiplikation mit zwei erhalten wir x gleich zwei mal ln von vier. Mit den Logarithmusgesetzen formen wir das am besten noch vereinfachend zu vier mal ln von zwei um.
Diesen exakten x-Wert setzen wir jetzt in die Ursprungsfunktion h ein, um die zugehörige y-Koordinate des Extrempunktes zu berechnen.
Berechnung der y-Koordinate
Den Term im Exponenten der e-Funktion rechnen wir aus und fassen ihn durch die Potenzgesetze direkt als natürlichen Logarithmus von vier zusammen.
Da e hoch der natürliche Logarithmus von vier sich gegenseitig auf hebt, bleibt an dieser Stelle einfach nur der Faktor vier stehen.
Die kurze Multiplikation liefert uns hier den Wert zwei.
Wir addieren noch die reinen Zahlenwerte zusammen und erhalten drei Komma fünf minus vier mal ln von zwei.
Damit haben wir die genauen Koordinaten unseres Extrempunktes vollständig und exakt bestimmt.
Der Rest der Lösung ist auf Solvi
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