Analysis und Zeichnung einer Exponentialfunktion
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Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x) = -2 \cdot e^{0,25x} + x + 3, x \in \mathbb{R}$. Ihr Schaubild heißt $K_f$.
3.4 Zeichnen Sie $K_f$ für $-5 \le x \le 8$.
Geben Sie die Gleichung der Asymptote an. (4 Punkte)
3.5 Berechnen Sie die Koordinaten des Extrempunktes von $K_f$ und untersuchen Sie, ob es sich um einen Hoch- oder Tiefpunkt handelt.
Geben Sie an, wie $K_f$ verschoben werden muss, damit der Extrempunkt auf der $x$-Achse liegt. (6 Punkte)
Animierte Videolösung
Die erste Hälfte ist kostenlos, die komplette Lösung gibt es in der App.
Schriftliche Lösung Schritt für Schritt
Wir haben die Funktion f von x gleich minus zwei mal e hoch null komma zwei fünf x plus x plus drei gegeben. In dieser Aufgabe sollen wir die Asymptote bestimmen, den Graphen zeichnen und die Extrempunkte berechnen.
Funktionsanalyse von $K_f$
Beginnen wir mit der Asymptote. Wir betrachten das Verhalten für x gegen minus unendlich.
3.4 Asymptote bestimmen
Wenn x gegen minus unendlich geht, nähert sich der Exponentialterm e hoch null komma zwei für x der Null an.
Dadurch bleibt die lineare Funktion x plus drei als schräge Asymptote übrig. Die Gleichung lautet also y gleich x plus drei.
Kommen wir zu Aufgabe drei Punkt fünf: Die Berechnung der Extrempunkte. Zuerst bilden wir die erste Ableitung von f von x.
3.5 Extrempunkte berechnen
Unter Verwendung der Kettenregel erhalten wir minus zwei mal null komma zwei fünf mal e hoch null komma zwei fünf x plus eins.
Das vereinfacht sich zu minus null komma fünf mal e hoch null komma zwei fünf x plus eins.
Um Extremstellen zu finden, setzen wir die erste Ableitung gleich Null.
Wir subtrahieren eins und teilen durch minus null komma fünf. Das ergibt zwei gleich e hoch null komma zwei fünf x.
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