Analyse und Transformation einer Kosinusfunktion
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Die Abbildung zeigt das Schaubild $K_f$ der Funktion $f$ mit $f(x) = a \cdot \cos(b \cdot x) + d, x \in \mathbb{R}$.
1. Bestimmen Sie die Koeffizienten $a, b$ und $d$. (4 Punkte)
2. Das Schaubild $K_f$ wird zuerst mit Faktor 1,5 in x-Richtung gestreckt und dann um 1 Längeneinheit nach oben verschoben. Das neue Schaubild heißt $K_g$. Geben Sie die Koordinaten der Extrempunkte von $K_g$ im Intervall $[0; 4]$ an. Bestimmen Sie die Periode von $g$ nach der Streckung in x-Richtung.
Diese Aufgabe enthält visuelle Inhalte: Ein Koordinatensystem mit einer periodischen Kosinuswelle $K_f$. Die y-Achse zeigt Werte von -2 bis 4. Die x-Achse zeigt Werte von -2 bis 6. Die Funktion hat ein lokales Minimum bei $(0, -2)$ und lokale Maxima bei $x = -2, 2, 6$. Der Funktionswert im Maximum ist 4. Die Mittellinie der Schwingung liegt bei $y = 1$. Die Periode der Funktion ist $T = 4$. Ein Gitter ist hinterlegt, um die Punkte genau ablesen zu können.
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Schriftliche Lösung Schritt für Schritt
In dieser Aufgabe bestimmen wir die Funktionsgleichung einer Kosinus-Funktion aus ihrem Graphen und untersuchen anschließend Transformationen.
Teil 1: Koeffizienten bestimmen
Die allgemeine Form ist gegeben durch f von x gleich a mal kosinus von b mal x plus d. Schauen wir uns zuerst die Verschiebung d an.
Der Maximalwert liegt bei y gleich vier und der Minimalwert bei y gleich minus zwei. Die Mittellinie d liegt genau in der Mitte.
Die Amplitude a ist der Abstand vom Mittelwert zum Maximum. Also vier minus eins ist gleich drei.
Wichtig ist hier: Bei x gleich null startet der Graph im Minimum. Ein normaler Kosinus startet im Maximum. Daher muss das Vorzeichen von a negativ sein.
Um b zu finden, brauchen wir die Periode p. Der Abstand zwischen zwei Maxima, zum Beispiel von zwei bis sechs, beträgt vier Einheiten.
Der Koeffizient b berechnet sich aus zwei Pi geteilt durch die Periode. Das ergibt Pi halbe.
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