Analyse und Transformation einer Kosinusfunktion
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Aufgabe 3 (30 Punkte)
Die Abbildung zeigt das Schaubild $K_f$ der Funktion $f$ mit $f(x) = a \cdot \cos(b \cdot x) + d, x \in \mathbb{R}$.
3.1 Bestimmen Sie die Koeffizienten $a$, $b$ und $d$. (4 Punkte)
3.2 Das Schaubild $K_f$ wird zuerst mit Faktor 1,5 in x-Richtung gestreckt und dann um 1 Längeneinheit nach oben verschoben. Das neue Schaubild heißt $K_g$.
Geben Sie die Koordinaten der Extrempunkte von $K_g$ im Intervall $[0; 4]$ an.
Bestimmen Sie die Periode von $g$ nach der Streckung in x-Richtung. (4 Punkte)
Diese Aufgabe enthält visuelle Inhalte: Ein Koordinatensystem zeigt das Schaubild $K_f$ einer periodischen Funktion. Die y-Achse reicht von -2 bis 5, die x-Achse von -3 bis 7. Die Funktion hat ein lokales Minimum bei $(0, -2)$ und ein lokales Maximum bei ca. $(2.1, 4)$. Ein weiteres Minimum liegt bei ca. $(4.2, -1)$ und ein Maximum bei ca. $(5.2, 5)$. Das Gitter zeigt deutliche Markierungen bei ganzzahligen Werten. Die Kurve oszilliert zwischen verschiedenen Werten, was auf eine Amplituden- oder Mittellinienschwankung hindeuten könnte, wobei die Grundform eine Kosinuskurve ist.
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Schriftliche Lösung Schritt für Schritt
In dieser Aufgabe analysieren wir die Funktion f von x gleich a mal Kosinus von b mal x plus d. Zuerst bestimmen wir die Parameter a, b und d aus dem Graphen.
Aufgabe 3.1: Koeffizienten bestimmen
Schauen wir uns die Extremwerte an. Der maximale Wert liegt bei y gleich vier und der minimale Wert bei y gleich minus zwei.
Der Parameter d ist die Mittellinie des Graphen. Wir berechnen ihn als Durchschnitt von Maximum und Minimum.
Die Amplitude a entspricht dem Abstand vom Mittelwert zum Extremum. Also vier minus eins gleich drei.
Jetzt bestimmen wir b über die Periode p. Ein vollständiger Wellenzyklus zum Beispiel von Minimum bei null zu Minimum bei vier zeigt eine Periodenlänge von vier.
Da b gleich zwei pi geteilt durch p ist, erhalten wir pi halbe für b.
Kommen wir zu Teil drei punkt zwei. Der Graph K f wird transformiert zu K g.
Aufgabe 3.2: Transformation zu g(x)
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