Analyse trigonometrischer Funktionen
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1.3 Das Schaubild einer trigonometrischen Funktion $f$ besitzt die Hochpunkte $H_1(\frac{\pi}{2} | 3)$ und $H_2(\frac{3\pi}{2} | 3)$ sowie eine Amplitude von 2.
Geben Sie die Koordinaten des dazwischen liegenden Tiefpunktes und eines Wendepunktes an. (4 Punkte)
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Schriftliche Lösung Schritt für Schritt
In dieser Aufgabe schauen wir uns das Schaubild einer trigonometrischen Funktion an. Wir kennen zwei aufeinanderfolgende Hochpunkte und die Amplitude.
Trigonometrische Funktionen analysieren
Gegeben sind:
- Hochpunkte: $H_1(\frac{\pi}{2} | 3)$ und $H_2(\frac{3\pi}{2} | 3)$
- Amplitude: $A = 2$
Gesucht sind die Koordinaten des dazwischen liegenden Tiefpunktes und eines Wendepunktes.
Gesucht:
- Tiefpunkt $T$ zwischen $H_1$ und $H_2$
- Ein Wendepunkt $W$
Betrachten wir zuerst die Symmetrie. Bei einer Sinus- oder Kosinusfunktion liegt der Tiefpunkt genau in der Mitte zwischen zwei benachbarten Hochpunkten.
1. Den Tiefpunkt finden
Wir setzen die x-Koordinaten der Hochpunkte ein: Pi Halbe und drei Pi Halbe.
Zusammengefasst ergibt das vier Pi Halbe im Zähler, also zwei Pi. Geteilt durch zwei erhalten wir als x-Koordinate einfach Pi.
Nun zur y-Koordinate des Tiefpunkts. Wir wissen, dass der vertikale Abstand zwischen Hochpunkt und Tiefpunkt genau der zweifachen Amplitude entspricht.
Da die Amplitude zwei ist und der Hochpunkt bei drei liegt, ziehen wir vier ab.
Damit haben wir den Tiefpunkt bei Pi und minus eins gefunden.
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