Analyse eines Lufttemperaturverlaufs mittels Kosinusfunktion
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Erfahrene Meteorologen sagen voraus, dass der Lufttemperaturverlauf (in $^\circ C$) an einem bestimmten Ort in den nächsten 24 Stunden näherungsweise durch die Funktion $T$ mit $T(t) = -8 \cos(\frac{\pi}{12} \cdot t) + 6$; $t \ge 0$, $t$ in Stunden, beschrieben werden kann.
Dabei ist $t = 0$ um 6:00 Uhr.
4.5 Berechnen Sie, welche Höchst- bzw. Tiefsttemperatur nach diesem Modell in den nächsten 24 Stunden zu erwarten ist.
Geben Sie alle Uhrzeiten an, zu welchen die Höchst- bzw. Tiefsttemperatur erreicht wird. (4 Punkte)
4.6 Bestimmen Sie die Werte von $t$, für die die Temperaturen über $0^\circ C$ liegen. (4 Punkte)
4.7 Ermitteln Sie die Uhrzeit, zu der der momentane Temperaturanstieg am größten ist. (4 Punkte)
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Die erste Hälfte ist kostenlos, die komplette Lösung gibt es in der App.
Schriftliche Lösung Schritt für Schritt
In dieser Aufgabe untersuchen wir den Temperaturverlauf über einen Zeitraum von vierundzwanzig Stunden. Die Funktion T von t beschreibt die Temperatur in Grad Celsius in Abhängigkeit von der Zeit t.
Temperaturmodellanalyse
Beachten Sie, dass t gleich Null der Uhrzeit sechs Uhr morgens entspricht. In Aufgabenteil vier Punkt fünf sollen wir die Höchst- und Tiefsttemperaturen sowie die entsprechenden Uhrzeiten finden.
4.5 Höchst- und Tiefsttemperaturen
Startzeit: $t = 0$ entspricht 6:00 Uhr
Der Kosinus-Term schwankt zwischen minus eins und eins. Da der Koeffizient vor dem Kosinus minus acht ist, erhalten wir das Maximum, wenn der Kosinus minus eins ist.
Für die Tiefsttemperatur nutzen wir den Fall, dass der Kosinus gleich eins ist. Dann ergibt sich minus acht mal eins plus sechs.
Für die Höchsttemperatur nutzen wir den Fall, dass der Kosinus gleich minus eins ist. Dann ergibt sich minus acht mal minus eins plus sechs.
Suchen wir nun die Zeiten. Die Tiefsttemperatur wird erreicht, wenn das Argument des Kosinus null oder zwei Pi ist. Da wir uns im Intervall von null bis vierundzwanzig befinden, ist das bei t gleich null und t gleich vierundzwanzig der Fall.
Das entspricht sechs Uhr morgens am ersten Tag und sechs Uhr morgens am darauffolgenden Tag.
Uhrzeiten für $T_{min}$: 6:00 Uhr
Das Maximum wird erreicht, wenn das Argument gleich Pi ist. Also Pi zwölftel mal t gleich Pi. Daraus folgt t gleich zwölf.
Zwölf Stunden nach sechs Uhr morgens ist es achtzehn Uhr.
Uhrzeit für $T_{max}$: 18:00 Uhr
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