Analyse einer Sinusfunktion anhand ihres Graphen
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Gegeben ist die Funktion $h$ mit $h(x) = 3 \sin(2x) + 1$, $x \in \mathbb{R}$. Ihr Schaubild ist $K_h$.
4.4 Ergänzen Sie die Skalierung im nebenstehenden Koordinatensystem. (2 Punkte)
4.5 Beschreiben Sie eine Vorgehensweise zur Bestimmung der Koordinaten von zwei Wendepunkten für $x \le 0$. Geben Sie die Koordinaten für zwei dieser Punkte an. (3 Punkte)
Diese Aufgabe enthält visuelle Inhalte: Ein kartesisches Koordinatensystem mit einem Gitter hinterlegt. Gezeichnet ist der Graph einer Sinusfunktion $K_h$. Die y-Achse und x-Achse sind markiert, aber es fehlen numerische Skalierungen auf den Achsen. Der Graph zeigt mehrere Perioden einer Schwingung. Die Kurve schneidet die y-Achse bei einem positiven Wert oberhalb der x-Achse. Es gibt Maxima und Minima, und die Mittellinie der Schwingung liegt offensichtlich oberhalb der x-Achse.
Animierte Videolösung
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Schriftliche Lösung Schritt für Schritt
Gegeben ist die Sinusfunktion h von x gleich drei mal sinus von zwei x plus eins. Wir sollen zuerst das Koordinatensystem skalieren und dann Wendepunkte bestimmen.
Analyse der Funktion h(x)
Betrachten wir zuerst die y-Achse. Die Funktion hat eine Verschiebung von plus eins in y-Richtung und eine Amplitude von drei.
1. Skalierung der y-Achse
Daraus ergeben sich die Extremwerte: Das Maximum liegt bei eins plus drei, also vier. Das Minimum liegt bei eins minus drei, also minus zwei.
Im Graphen sehen wir, dass die Ruhelage eins genau eine Einheit über der x-Achse liegt. Damit entspricht eine Kästchenhöhe einer Einheit auf der y-Achse.
Nun zur x-Achse. Die Kreisfrequenz b ist gleich zwei. Die Periode P berechnet sich aus zwei Pi geteilt durch b.
2. Skalierung der x-Achse
Eine volle Periode entspricht also Pi. Schauen wir uns den Graphen an: Ein Berg und ein Tal erstrecken sich über vier Karokästchen. Das bedeutet, vier Kästchen entsprechen Pi.
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